年關將至，又到了學生黨們夙興夜寐、焦頭爛額地準備期末考試的時候啦。所以值此（喜大普奔，來自工作黨的竊喜）期末複習的關鍵時刻，我們也特地為學生黨們準備了一份「忍者考試防掛科指南」，希望通過一道考試真題的全方位解析，讓大家了解考試通關的秘訣，從而可以（安心回家過年）取得理想的成績。
不知不覺中，2019年已然離我們遠去。隨著氣溫的不斷下降，小編也不禁感嘆，冬天來了，期末考試還會遠嗎？
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所以在此辭舊迎新之際，我們特別為大家準備了一份「忍者考試防掛科指南」，以中忍選拔考試第一場筆試的真題為例，為大家講解考試通關的終極秘笈。
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「麻吉亞巴庫內！」
真題解析
首先請看真題
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「圖中的拋物線B，是忍者A在7M高的樹上扔出手裏劍的最遠距離。那麼請通過投擲手裏劍所呈現的拋物線得出忍者A在平地戰時可以扔出的最遠距離，並寫出計算依據。」
這類問題對於終日研究忍法的忍者們來說可能還是有點難度的，
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小編表示一直無法理解為什麼佐助可以一臉得意的說出這麼羞恥的事情來
不過對於我們而言，只需要藉助中學的物理學知識就可以輕鬆搞定。
考慮一般的情況，即A處忍者在投出武器的時候，存在斜向下的速度分量。那麼，如果令v0為初始速度，θ為初始速度與垂直方向的夾角，那麼我們可以輕易得到，
這裡為了稍微簡化問題，令θ取0（也就是沒有斜向下的速度分量），得到下落時間t
從而可以得到
（當然也可以假設θ不等於0，那麼就需要解v0的方程，仍然屬於初中數學的範疇。）
下面考慮平地戰時的情況。假設此時速度與地面的夾角為θ，那麼垂直方向上的速度分量即為v0·sinθ，所以武器落地前的運動時間為
那麼運動的距離可以表示為
所以顯而易見，當θ=45°時，L取最大值。代入v0，得
不過考慮到實戰中遇到的情況往往比較複雜，所以實際的試題也會略有變化。這裡我們不妨將條件稍作修改，以方便大家舉一反三。請看下面的例題：
例 1：時間最短的軌跡
假設「鷹小隊」一行四人來到懸崖旁，對懸崖下同一目標發起突襲。
圖片來源：「李洛克的青春全力忍傳」英文維基
（「這番都有自己的維基網站，老外果然好閒啊！」
——來自本文作者的吐槽）
在僅僅考慮重力作用而忽略摩擦力的情況下，眾人將某個可以視為質點的遠程武器從A點釋放。釋放時武器速率為零，沿某條曲線運動，最終擊中位於B點的目標（假設B點不高於A點）。問該武器應以何種曲線運動才能令到達B點所需的時間最短？
解析：
考慮到觀眾老爺們對簡潔分析過程的鐘愛（都不喜歡複雜的數學公式），這裡我們參考約翰·伯努利（Johann Bernoulli）的思路，利用費馬原理（「兩點間光線傳播的路徑是所需時間最少的路徑」）來對問題進行分析。
熟悉我們的讀者肯定可以猜到，這時候我們又又又又又要介紹滿門都是數學家的伯努利家族了。本文提到的約翰·伯努利是雅各布·伯努利（重要成果包括積分、極坐標系理論，懸鏈線、等時線方程，機率論中的伯努利試驗與大數定理等）的弟弟，丹尼爾·伯努利（伯努利定律的發現者）與尼古拉二世·伯努利（研究領域涵蓋微分方程、機率論及流體力學）的父親。而數學大師萊昂哈德·歐拉正是約翰·伯努利的學生。
這裡我們需要用到初中課本上講過的機械能守恆定律：在只有重力或彈力做功的物體系統內（或者不受其他外力的作用下），物體系統的動能和勢能發生相互轉化，但機械能的總能量保持不變。
圖片來源：bilibili
舉一個栗子~
由此可知，
式中h代表物體在豎直方向上的下落距離，g為重力加速度。接下來我們祭出初中物理課本上講過的光學知識，我們假設光在速度v時也滿足形式
那麼根據折射定律，一束光在密度不均的介質中傳播時存在常數θ，使得
其中c代表真空中的光速。
根據折射定律，光線與法線的夾角正比於介質中的光速。上圖中x軸上方為真空，下方為某種介質。調整介質中的入射角，可以使折射角等於π/2，也就是90°。圖中θ為軌跡與豎直方向的夾角，dx為水平方向路徑微分，ds為光路方向路徑微分。
根據正弦函數的定義可知
所以帶入到前面的公式中可以得到
稍作整理，易得
我們可以仿照前文的設定，假設真空中的光速c滿足
那麼帶入到dx的方程，可以得到
即
也許有的小夥伴對於上面的方程不太熟悉，不過我們可以寫出它的參數方程的形式，一切就會真相大白。
沒錯，這就是著名的擺線方程。
圖片來源：《驚艷一擊——數理史上的絕妙證明》
圖片來源：wikipedia
擺線的產生
不過對於這個結論，也許有人會提出質疑，畢竟與我們的常識有些出入。（但是有這種錯覺的同學也不必自我懷疑，畢竟當年伽利略也以為這條線是圓弧。）所以為了打消大家的顧慮，我們用Python算一下這條軌跡的下落時間與其他常見軌跡下落時間（讓「鷹小隊」的四位親自確認一下）。
顯而易見，擺線（cycloid，也就是佐助代表的曲線）的下落時間要快於圓周、拋物線和直線。
知識點：這道題涉及的問題就是歷史上赫赫有名的速降線（Brachistochrone）問題。速降線問題一般被認為是變分法和泛函理論的發端。相較於傳統函數從數域到數域的映射關係，泛函可以視為從函數空間（如直線、擺線、圓、橢圓等）到數域（如下落所需時間）的映射。
關於約翰·伯努利，這位數學家其實也非常值得八卦一下。約翰早年曾經和哥哥雅各布一同研究數學，但後來逐漸開始嫉妒哥哥的才華，兩兄弟時常互相較勁。雅各布去世後，約翰·伯努利又開始嫉妒兒子丹尼爾·伯努利。據說約翰曾故意提前虛報作品的完成時間，為的竟然是可以比兒子同類成果的完成時間更早。此外，在牛頓與萊布尼茨關於微積分發明權的爭奪戰中，約翰果斷站隊自己的老師萊布尼茨，同時還猛烈攻擊牛頓的萬有引力定律，導致萬有引力定律在很長一段時間內無法被歐洲大陸的科學界所接受。約翰·伯努利和洛必達還有一段剪不斷理還亂的糾葛，欲知詳情，請移步《Gaussian、Eulerian、Cartesian……數學家們的謎之命名法》。
例 2：同時到達目的地的曲線
假設草帽一夥相約在香波地群島的「Thousand Sunny號」處匯合。
圖片來源：集英社
在不同位置的眾人發現可以通過某一滑道直接來到目的地。設眾人不使用技能或者惡魔果實的能力，且可以視為質點，阻力不計，最終眾人同時來到「Thousand Sunny號」。求該曲線的方程式。
解析：
諸位第一眼看到這一問題時，肯定會有一種似曾相識的感覺：將質點置於曲線之上，質點下滑的時間與釋放點無關——這不就是初中學過的簡諧運動嘛。一旦想到了這一層，問題就變得too simple，甚至有些naive。
圖片來源：wikipedia
草帽一夥的運動情況（左圖）
vs
單擺運動情況（右圖）
圖片來源：giphy
簡諧運動中的汪星人~
首先我們假設在重力作用下質點的運動軌跡與單擺相同。從中學物理課本上我們已經知道，單擺的運動滿足，
其中s為最低點與質點之間的弧長。我們假設釋放質點時t = 0，顯然有
其中s0也就是終點與起點之間的弧長。由於題目中草帽一夥是沿著斜面自由下滑的，所以加速度為
結合前面提到的加速度公式，我們有
兩邊取導數後稍作整理，得到
根據初中的三角函數知識，顯然
剩下的操作就非常簡單了。只需要將dx與dy的兩側同時作積分，就可以得到
如果令
我們就會得到一組熟悉的式子，
沒錯，這就是我們在例1中見到的擺線。
圖片來源：youku
當然，會有細心的同學發現，例1和例2中的式子並不完全一樣，但是本質上其實並沒有什麼區別（無非是一個開口朝下，一個開口朝上）。
{x= (t - sint ),y= ( 1 - cost )}
{x= (t+ sint),y= ( 1 - cost )}
知識點：這道題涉及的問題就是歷史上另一道十分著名的題目——等時線（Tautochrone ）問題，即將一質點放置在此曲線上任一點使其自由下滑（不計阻力）至最低點所需的時間皆相等。等時線問題最早由惠更斯給出解答。在他1673年的著作里已經利用幾何方法證明了等時線即擺線。不過，幾何證明比較晦澀難懂，且連篇累牘，故（讀者恐怕不會喜歡看）此處不展開討論。之後拉格朗日和歐拉給出了這一問題的解析解。現代物理教科書上對這一問題的闡釋往往會採用阿貝爾的思路。對上述內容感興趣的同學請移步曹則賢老師的新書《驚艷一擊——數理史上的絕妙證明》。
例 3：繃帶的形狀
已知黑崎一護在自己的意識空間發現了自己的斬魄刀（西瓜刀）的新用法。
圖片來源：Anime And Manga Universe Wiki
某次戰鬥中，一護將自己的刀甩出，發現刀插在了自己對面的建築上。已知繃帶一端與刀柄相連，另一端在黑崎手中。假設繃帶的粗細與質量分布均勻、柔軟但不能伸長，此刻僅僅受到重力的作用，問其所形成的曲線的形狀。
解析：
為了簡化問題，這裡我們對繃帶上任意一極小的一段做受力分析，如下圖。
假設繃帶的密度為ρ，而這一小段繃長度為s，其受到相鄰一點沿著曲線的力T，設T和水平方向夾角為θ，則顯然有
其中dx與dy分別為水平方向和垂直方向的路徑微分。為了簡化公式，我們假設
那麼，我們可以得到
接下來我們用一點課外知識——弧長公式。根據弧長公式，s可以表示為
兩邊取微分，稍作整理可以得到
也即
結合前面得出的dx與dy之間的關係，我們有
剩下的工作就是對dx與dy求積分（思考題：兩次積分運算的思路是否相同？），整理後得到
順帶提一下，Cy與Cx是積分常數，這裡取零並不失一般性。至於原因，那自然是由於我們可以移動坐標軸，從而使積分常數為0。
圖片來源：豆瓣
移動的坐標軸大概就是這個樣子吧~
知識點：這道題涉及懸鏈線（Catenary）問題。懸鏈線是一種十分常用的曲線，物理上用於描繪懸在水平兩點間的因均勻引力作用下的軟繩的形狀。很巧的是，這一道題也有伯努利兄弟的參與。懸鏈線問題最早據說是由達·文西提出的。之後伽利略、雅各布·伯努利等人都有過研究。但他們猜測懸鏈線的形狀是拋物線，所以這一問題一直沒有得以解決。真正帶來突破的是萊布尼茨、惠更斯與約翰·伯努利，他們的方法都是利用二次微分方程進行求解，最終也得到了正確的結論。本文涉及到的方法雙曲餘弦函數cosh(t)，但是在伯努利的時代並沒有雙曲函數（雙曲函數是由數學家約翰·海因里希·蘭伯特於18世紀引入的概念）。不過這也並不影響伯努利他們得出正確的結論，因為根據定義，
所以懸鏈線也可以表示為
彩蛋時間
在搜尋忍者考試真題的時候，我們意外地發現了這樣一道題目：
圖片來源：youku、zhihu@無妄之神
「大人，時代變了！」
致謝：本文作者感謝外研社綜合出版事業部科學工作室同事對於文稿的審讀，尤其感謝編輯劉雨佳老師在日語和忍法知識上給予的支持。
看完今天的科普，肯定會有同學覺得意猶未盡。那麼問題來了，有沒有這麼一本書，可以在還原科學定理產生歷史的同時，深入淺出地介紹其背後蘊含的科學道理呢？
對，是它，是它，就是它，我們曹則賢老師的新書《驚艷一擊》！！！考慮到期末周將至，外語教學與研究出版社為廣大考試黨提供了香噴噴的福利！即日起到本周五中午十二點留言點贊前三名將獲得曹則賢老師的力作《驚艷一擊》一本！有曹則賢老師的「絕妙證明」加持，保佑你期末大吉，門門順利！
央視「加油向未來」節目科學顧問曹則賢老師傾情巨獻，收錄數理史上數十例絕妙證明，涉及一百八十多位名家。因材施教，激勵少年讀者循著先哲開闢的道路前行。
編輯：aki