撰文 | 朱安遠（北京金自天正智能控制股份有限公司高級工程師，諾獎研究者）
陸家羲對組合數學研究抱有滿腔的赤誠和全身心的熱愛，他心無旁騖、孜孜不倦地沉醉於數學王國20多年，以中學物理教師身份榮膺1987年國家自然科學獎一等獎之殊榮。「另類」陸家羲創造的這一奇蹟在中外科學史上實屬罕見。謹以此文深情緬懷尊敬的陸家羲老師逝世40周年。
出身於貧寒家庭
1935年6月10日（農曆五月初十），陸家羲出生於今上海市虹口區一個貧苦市民家庭。父親陸寶祥是上海灘「跑街的」（擺攤售貨的小商販），常自產自銷醬油、味素等調味品以養家餬口。母親李月仙操持家務，全家生活清苦。陸家羲父母共生育過4個孩子，前3個均因患病無力醫治而早夭。
陸家羲天資聰穎，求知慾強，酷愛學習，十分珍惜來之不易的求學機會，學業成績一直名列前茅，對數學情有獨鍾。1948年父親突患重病去世，翌年陸家羲初中畢業後因家貧而輟學，1950年9月進入上海公共汽車公司下屬的一家五金材料行當學徒工，開始承受家庭生活重擔。他從小就不得不學會與困苦的生活相抗爭。
自學高中課程考上大學
1951年10月，陸家羲辭別慈母決然隻身離滬北上，被招聘到瀋陽進入東北電器工業管理局舉辦的短期統計培訓班學習，次年5月以第一名的成績結業後被分配到哈爾濱電機廠生產科做統計工作。
1956年夏，陸家羲偶然閱讀到留美數學碩士（經仔細考證，廣為流傳的「博士」說有誤）、數學教育家孫澤瀛的著作《數學方法趣引》，書中深入淺出地介紹了8個世界著名數學難題，他尤其被「寇克滿之女生問題」深深吸引並因此而著迷。自此他以畢生精力與心血，走上了獨自在世界組合數學最前沿研究領域孤軍奮戰，奮力探索奧秘的極其艱辛的攻關征途，常年如痴如醉地遨遊於數學王國。
陸家羲利用工余時間刻苦自學高中課程和俄語（為查閱資料方便，後來還自學過英語和日語）。純粹以充實提高自己的專業知識和開闊眼界為目的，毅然放棄當時已60多元月薪的高工資，於1957年秋棄職如願考入長春的東北師範大學（1958-1980年稱吉林師範大學）物理系，僅靠微薄的助學金完成大學生涯。
大學期間，陸家羲的物質生活雖大大不如工作之時，但其精神世界卻是自由而豐富多彩的，這正是他企盼的愜意生活狀態。他同時在物理和數學兩個學科里齊頭並進，研讀過大量數學專著，課業成績也優異。正如陸家羲後來對親友所表述的心聲：
自己真正喜愛的是物理，因為它可以為人類作出更直接的貢獻，自己樂意把它作為終生研究領域，但從事物理學研究需要很多物質條件，在當時的環境條件下他只能選擇研究數學，因為它只需要紙和筆。
挑戰著名世界數學難題，絕非易事，沒有捷徑，亦無坦途。陸家羲充分利用空暇時間，以濃厚的興趣探尋「寇克滿之女生問題」的奧妙。緊張的大學生活結束時，他不僅以優異成績取得畢業文憑，而且基本上解決了困擾數學界百餘年的「寇克滿之女生問題」。
自2017年秋季起，陸家羲母校東北師範大學創設「陸家羲數理基地班」，以「創造的教育」為理念，力圖培育和發掘創新型卓越人才。
到草原鋼城包頭支援邊疆
1961年8月，陸家羲本科畢業後被分配到包頭鋼鐵學院（今內蒙古科技大學）任教，後歷任包八中、包五中、包二十四中和包九中物理教師。他性格內向、沉默寡言，長期潛心於組合數學研究，任勞任怨、與世無爭。
包九中校園致知樓前的陸家羲塑像
包九中是內蒙古自治區的重點中學，陸家羲作為骨幹物理教師，教學水平很高，教學任務繁重，業餘時間甚少，但他從未因數學研究而耽擱本職教學工作，故他日記中最多的一個字就是「夜」：「夜工作」 「夜補課」「夜寫論文」「夜思考Bays猜想」「夜打英文稿」……
誠如魯迅先生所云：「哪裡有天才，我是把別人喝咖啡的工夫都用在工作上的。」蘇格蘭哲學家、散文家和歷史學家托馬斯 · 卡萊爾（Thomas Carlyle）也說「世界榮譽的桂冠都是由荊棘編織而成的」。一旦有空，陸家羲就經常沉浸在「一紙，一筆，一（數學）世界」的崇高忘我境界。休閒時他喜歡欣賞京劇。
柯克曼女生問題
1850年，英格蘭教區長和數學家托馬斯 · 柯克曼（舊譯寇克滿，Thomas Kirkman）提出一個有趣的問題：
15個女生每天以3人一排共5排的隊形外出散步，現要求安排一周7天的隊形，使得任意兩個人恰有（有且僅有）一天被安排在同一排。
這就是後來流傳甚廣的柯克曼15女生問題，同年英國數學家亞瑟 · 凱萊（Arthur Cayley）就公布了這個問題的局部解，其後陸續有人找到了其他局部解。
柯克曼15女生問題的實質就是15階柯克曼三元系KTS（15）的存在性問題，它僅是可分解平衡不完全區組設計（RBIBD）的一個特例。一般化的RB[v，k，λ]設計的存在性問題在區組設計中後被概稱為「柯克曼女生問題」。該問題迄今尚未解決，陸家羲1984年發表的遺作至今仍是這方面已知最好和最齊整的結果。
斯坦納系列問題
1844年，英國數學家韋斯利 · 伍爾豪斯（Wesley Woolhouse）首先提出B[v，3，1]的區組設計問題，1847年柯克曼首先證明它存在的充要條件是若且唯若v≡1，3（mod?6），其中v≥3，首開區組設計研究之先河。伍爾豪斯和柯克曼當時的工作並未引起人們注意，直到1853年瑞士幾何學家雅各布 · 斯坦納（Jakob Steiner）在研究四次曲線的二重切線問題時再次提出B[v，3，1]的存在性問題，三元系的問題才開始引起學者們的重視。
因當時信息閉塞，1859年德國數學家米歇爾 · 賴斯（Michel Reiss）又獨立地得到與柯克曼一樣的結果，證實了斯坦納的猜測。斯坦納是近代射影幾何學的奠基人之一，名望較高，因此賴斯陰差陽錯地將B[v，3，1]命名為「斯坦納三元系」，記作STS（v），將B[v，k，1]命名為「斯坦納系」，B[v，3，λ]則被稱為三元系。每個STS（v）的區組數由v（v–1）/6個3–子集組成。斯坦納三元系是區組設計B[v，k，λ]中最小、最基本和最重要的研究對象。
1861年，英國數學家詹姆斯 · 西爾維斯特（James Sylvester）在柯克曼15女生問題的基礎上又進一步地提出：
請給出一個13周的散步安排，使得每周的隊形方案都滿足柯克曼15女生問題中的條件，且任意三個女生在13周恰有一天被安排在同一排。
這就是著名的區組設計大集中的西爾維斯特問題，即LKTS（15）。LKTS（15）的首個局部解遲至1974年才藉助計算機找到，由此可見不相交柯克曼三元系大集LKTS（v）的存在性問題難度之大，其完整解的研究至今尚處於起步階段，進展十分緩慢，離完全解決仍相距甚遠。
不相交斯坦納三元系大集LSTS（v）起源於1850年對LSTS（7）=D（7）=2的研究，它是比LKTS（v）條件稍弱的另一類大集，恰含v–2個兩兩不相交的STS（v）。容易證明，LSTS（v）和LKTS（v）的可能存在範圍分別是v≡1，3（mod 6）和v≡3（mod 6）。
取得區組設計領域四大世界級傑出成就
陸家羲埋頭鑽研組合數學20多年，以高超的智慧和堅韌的毅力取得區組設計領域四大世界級傑出成就，即首先完成柯克曼三元系、柯克曼四元系和不相交斯坦納三元系大集存在性問題的證明並取得可分解平衡不完全區組設計存在性理論中迄今最好和最齊整的結果。
早在1961年，陸家羲大學畢業後不久就基本上解決了柯克曼三元系RB[v，3，1]的存在性問題，最遲到1965年又攻克了柯克曼四元系RB[v，4，1]的存在性問題，因知音難覓和投稿無門，這兩項成就被長期埋沒，以致於它們都沒能取得「出生證」（根據科學共同體公認的國際準則和學術慣例，科學發現優先權得到承認以正式發表學術論文為準）。
當時國際組合數學界的氛圍很好，推翻正交拉丁方中歐拉方陣猜想的光輝事跡曾榮登1959年4月26日美國《紐約時報》頭版，此事曾轟動一時並被傳為科壇佳話。當時陸家羲尚不足30歲，其出色成果若能及時發表並得到國際學術界的認可，他將是包括菲爾茲獎在內的世界級數學大獎的有力爭奪者，其美好前程和對組合數學的貢獻將難以估量。
1979年4月，陸家羲在獲知自己的前兩項研究成果已被外國學者分別於1971年和1972年正式發表論文解決時，一度痛心疾首，但他並未自暴自棄而消沉，也沒有停下腳步來怨天尤人，而是重新揚起理想的風帆，沐浴在科學的春天裡，矢志不移，執著地繼續追尋數學之美，向著更高更美的數學高峰發起連續衝擊。
歷時僅3個多月，不晚於1979年10月就利用獨創的數學方法，鬼斧神工、奇蹟般攻克了組合數學界的世界級難題——不相交斯坦納三元系大集LSTS（v）的存在性問題。
1983年3月號（前3篇）和1984年9月號（後3篇），美國《組合論雜誌（A輯）》以極為罕見的100個英文印刷頁的總篇幅發表了名不見經傳的包頭市第九中學陸家羲總標題為《論不相交斯坦納三元系大集》的6篇論文。
他獨創性地引入5個輔助設計（AD、AD*、 AD**、LD、LD*）和3個輔助設計大集（LDA1、LDA2、 LDA3），巧妙地引進多種素數因子，精心地設計了一個又一個的遞歸構造，嫻熟地運用了有限域理論、代數數論、正交拉丁方和橫截設計等數學工具，前後共推導出16個引理和29個定理，在前人的基礎上創造性獨具匠心地給出了5個各具特色的遞歸構造，終於嚴謹地以簡潔、優美而和諧的形式得到了不相交斯坦納三元系大集的存在性定理（現稱陸家羲大集定理，簡稱陸氏定理）：
若v≡1，3（mod?6），v>7，且v?{141，283，501，789，1501，2365}，則存在LSTS（v），且D（v）=v–2。
陸氏定理遺留的6個例外值陸家羲宣告已明珠在握，他正在構思第7篇論文，可惜剛動筆不久就猝然離世，在其遺稿中只找到24頁提綱和部分結果。陸家羲所取得的重大突破性成就迅速得到國際同行的認可和高度評價，震驚了世界組合數學界，這個具有國際一流水平的原創性成果解決了130多年以來的世界級組合數學難題，被譽為20世紀組合數學領域最重大的成就之一，是區組設計領域當之無愧的第三顆明珠，這一光輝成就將永載世界數學史冊。
1991年，美國奧本大學比利時數學家盧克 · 特爾林克（Luc Teirlinck）利用陸家羲首創的LD輔助設計工具，證明它具有成對平衡設計（PBD）閉集性質，補充完成了前述6個例外階數大集存在性問題的證明，從而使得陸氏定理臻於完備。陸家羲和特爾林克完成的這項工作首開整體解決區組設計大集存在性問題之先河，具有里程碑式重要意義。
中國權威數學期刊《數學學報》1984年第4期發表了陸家羲的遺作《可分解平衡不完全區組設計的存在性理論》，這是他在國內唯一一次正式發表學術論文。這一研究成果在國內外組合數學界再次獲得高度評價，認為這一結果是整個區組設計理論中帶有基礎性的一個重要成果，在國際上亦處於領先地位，其價值可與陸氏定理相媲美。
陸家羲僅憑藉紙和筆，靠著大腦演繹著複雜的推理和海量的邏輯就取得卓越數學成就，思維縝密、潛能巨大。可以設想，倘若他有機會在較好的科研和生活環境條件下，利用計算機軟體等先進工具和手段，並與國內外同行進行學術和情報交流，假以時日，他必將取得更多更大的驚人成就。
發現並賞識陸家羲的三位中外伯樂
中國的伯樂是率先認識到陸家羲論文的重大學術價值並建議他向《組合論雜誌》投稿的蘇州大學組合數學家朱烈。外國的兩位伯樂是陸家羲論文的審稿人，即加拿大多倫多大學國際組合數學權威埃里克 · 門德爾遜（Eric Mendelsohn）教授和加拿大滑鐵盧大學圖論專家約翰 · 邦迪（John Bondy）教授。三位中外數學大師慧眼識珠，他們是發現並賞識陸家羲的伯樂和功臣。
埃里克 · 門德爾遜是組合數學大師內森 · 門德爾遜（Nathan Mendelsohn）之長子，他子承父業，父子倆均供職於多倫多大學。門德爾遜三元系大集LMTS（v）以內森 · 門德爾遜的名字命名，陸家羲獨創的LD設計在LMTS（v）的構造方面發揮過重要作用。
筆者珍藏多年的報告會入場券
榮膺國家自然科學家一等獎
1983年10月，陸家羲作為唯一被破例特邀的中學教師代表參加了在武漢舉行的中國數學會第四次全國代表大會，與著名數學家陳景潤分在同一個小組。大會充分肯定了陸家羲取得的傑出數學成就，表彰他矢志圖強、勇攀科學高峰的奮鬥精神。
一位知名數學家曾評論道：「他的成就，起碼不在陳景潤之下！」
有數學專家曾形象地指出：陳景潤與陸家羲主攻的都是世界級著名數學難題，彰顯出中華民族高超的數學智慧。陳景潤是在前人確定了主攻方向，奮力拚搏，奮勇攀登，終於領先而逼近峰巔的。陸家羲則不然，他是百餘年來別人還在摸索著前進、路徑尚未選好的情況下，獨闢蹊徑而獨占鰲頭的。
會後陸家羲為儘快返校授課和研究而忙碌，10月30日18時20分許回到包頭醫學院職工家屬區的家中，因長期在極其窘困的「四無（無科研經費和環境、無科研時間和條件、無同行交流和情報、無技術頭銜和職稱）」條件下超負荷運轉，最終積勞成疾，突發心肌梗死於次日凌晨1時30分許在寓所溘然長逝，終年僅48歲。死神比桂冠更快地悄然降臨於他，中斷了學者們對他更高的期望，痛哉！惜哉！！
陸家羲的一等獎獲獎證書
1983年11月10日，陸家羲追悼會在包九中隆重舉行。遺體火化後，骨灰最初安葬在包頭市革命陵園（包頭市東河區轉龍藏龍泉寺），家屬後來將其遷葬於青山公墓（包頭市青山區興勝鎮），與夫人張淑琴（1940-2018）合葬。
1985年，陸家羲被授予內蒙古自治區首屆科技進步獎特等獎。第三屆（1987年度）國家自然科學獎於1988年3月15日評定，3月18日對外公布，包頭市第九中學陸家羲作為唯一完成人以「關於不相交STEINER三元系大集的研究」的重大成果被追授一等獎，獲獎金2萬元人民幣。1989年2月15日，陸家羲遺孀、包頭醫學院放射科醫師張淑琴代表他出席在北京人民大會堂舉行的頒獎大會並領獎。
國家自然科學獎一等獎是中國基礎科學研究領域含金量最高的科學大獎。組合數學大師陸家羲畢生辛勤耕耘，生前默默無聞、地位卑微，卻一舉奇蹟般奪得我國自然科學界的最高獎項，這是對「前無古人，後無來者」的最好詮釋。
陸家羲的研究工作沒有得到任何外部支持，長期不被理解，身處逆境，在環境惡劣、信息閉塞、資料匱乏和冷嘲熱諷等艱難困苦條件下，以超人的智慧和頑強的拼搏精神，攀登上一座又一座組合數學高峰，體味到了數學之魅力，欣賞到了數學最高境界之美。
本文經授權轉載自微信公眾號「世界科學」，原題目為《中國最偉大的業餘數學家：中學物理教師兼組合數學大師陸家羲》。
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