在近代物理文獻中，光子常常作為無質量粒子被提及。然而，光子同有質量粒子行為上有本質上的不同，從有質量粒子的物理學簡單地令 m=0 不可能得到任何光子物理。光 (子) 的能量-動量色散關係，速度之參照框架 (非) 依賴 (性) ，自旋與自旋投影等基本物理性質都完全不同於有質量粒子。光子與有質量粒子的玻色-愛因斯坦統計上的差別也不是粒子質量有無的問題。光子概念來自基於實驗結果提出的光場之能量量子，光場量子化同有質量粒子能量的量子化採用了完全不同的方案。光場量子化是對不同光場模式直接引入產生和湮滅算符，不同模式的光場之間沒有作用，談論光子的位置沒有意義，則光子的計數性—其與定域性有關—也就成了問題。嚴格考察關於光(子)性質的描述及其背後的物理圖像，可作為進一步深入理解光 (子) 之本性的開始。
撰文 | 汪克林（中國科學技術大學基礎物理中心理論物理教授、近代物理系教授(退休))、曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）
1、引 子
光子這個概念源於1900年普朗克擬合黑體輻射譜引入的假設 Uν(ν為下標)/hν 為整數，後來1905年愛因斯坦在解釋光電效應的實驗結果時進一步假設固體吸收光也是按照以能量量子 E=hν 為單位的方式進行的，1923年康普頓為解釋X-射線的電子散射實驗又引入了光具有動量量子 p=hν/c 的假設，這最終導致了化學家劉易斯 (Gilbert N. Lewis) 於1926年引入了光子 (photon) 一詞[1]。光子的概念沿用至今，並且在此過程中自然地形成了所謂光子是無質量粒子的說法，許多人對此也深信不疑。然而，我們稍加留心，就會發現這種說法大有值得商榷之處。光子在引入之初，是分別被賦予能量量子 E=hν 和動量量子 p=hν/c 的。如此賦予動量量子的理由來自光能量量子的表達式 E=hν 以及經典理論中光場的動量的概念 p=E/c ，也就是光場的能量-動量關係 (色散關係) E=pc 。這個能量-動量關係被光子直接繼承了。在狹義相對論中，洛倫茲不變性要求有質量粒子的能量-動量關係為
E^2=p^2c^2+m^2c^4 (1)
若令 m=0 ，則從式(1)可得到 E=pc，這大概是所謂光子是無質量粒子說法的緣由。然而，必須指出，所謂光子的動量 p=hν/c ，在康普頓用來解決X-射線電子散射問題時就是經典動量，而在粒子的能量-動量關係式(1)中的p實際上是粒子動量4-矢量P=(p; E/c) 的前三個分量，它和粒子的經典動量 p=mν 差一個因子
，不可混為一談！最重要的，在當今關於粒子的標準模型里，光子是來自局域U(1)規範對稱性的、自旋為1的規範玻色子，它沒有質量或者電荷 (without mass and without charge) 。注意，它不是質量為零、電荷為零，是沒有質量、也沒有電荷這些標籤。光子有自旋標籤。
作者基於近年來關於基礎物理的思考，認為有必要認真檢討一下我們關於光子的一些認識是否反映了真實的物理內容，近代物理是否能為光子提供更加精確和嚴謹的圖像。量子力學和相對論在發展時期其主角一直是電子和光 (子) ，然而，對量子力學和相對論的仔細體會會引導我們去思考電子與光子本質上的區別。比如，光子，確切地說是光場的量子，其與有質量的物質粒子之間的差別僅僅是有限質量和質量為零的差別嗎？光子和電子一樣有位置算符嗎？再者，一般相對論文獻中會談到光速不變，意思是光速在任何參照框架中都是一樣的。我們也可以問一個同光子是否簡單地是無質量粒子類似的問題，光速是在不同參照框架內不變還是光速是一個沒有參照框架 (referring to nothing) 的物理量[2]？這之間的不同會導致對基礎物理的不同認識。就後續的量子光學實驗來說，光子的可計數性以及實驗上的具體實現也未曾建立起堅實的概念基礎。這些都是本文要討論的內容。
2、經典物理中的物質粒子與光場
在經典物理中，物質粒子與光場有著完全不同的物理內涵。為了更清楚地理解此處關切的問題，不妨先回顧一下經典物理框架下的相關描述。有質量的物質粒子具有有限體積和有限質量。當有限體積效應可以忽略時，可引入點粒子的概念，體系的質量以及電荷等稱為荷的內容集中於一個幾何點上。粒子的所有物理量亦定域在該點上。點粒子的運動由動力學方程，即牛頓第二定律，
F=ma， (2)
描述。反觀光場，其是由麥克斯韋方程組描述的。與物質不同，光場不具有存在於有限體積內進而可理想化為幾何點這一基本特點。電場和磁場是場，要點在於其是空間中的分布，未來引入電磁勢4-矢量的概念還會帶來規範場論，其與物質粒子的區別就更明顯了。真空中電磁場的動力學由麥克斯韋方程組描述，
進一步地，引入洛倫茲 (Ludvig Lorenz) 規範，可導出真空中電磁場滿足的波動方程
光是電磁波，以及光速具有不變性，時空滿足洛倫茲 (Hendrik Antoon Lorentz) 變換，等等，都與方程(4)有關。
3、電磁場及有質量粒子的量子力學
或許我們可以以為，從經典物理過渡到量子理論框架，物質粒子和光場量子化得來的光子都具有波粒二象性。這種想法過於想當然了。為了說清楚問題，讓我們先回顧關於有質量粒子 (能量) 的和關於電磁場的量子化方案。
在經典物理中，粒子有兩個基本力學量，位置和動量。在正則量子化方案中，記住從玻爾 (1913) 到薛丁格 (1926) 的量子化努力針對的都是電子能量的分立性問題，位置和動量被當成了算符，量子化條件即為它們之間的對易關係
上述的光場量子化方案的一個重要的結論是, 如T. D. Newton和E.P. Wigner曾指出的那樣，光子不存在定域性[5]。確切地說, 光子不具有位置表象的波函數。J. E. Sipe曾提出了一個光子波函數[6]，不過他特彆強調，他提出的光子波函數沒有物質粒子那樣的幾率詮釋，而只是表征光場能量的空間幾率分布，與薛丁格、泡利和狄拉克各自關於電子的量子力學方程里的波函數不可同日而語。J. E. Sipe的光子波函數為
4、光子的可計數性
對於有質量粒子，可計數性是一個容易辨明的問題。對於有質量粒子，如何從量子力學的意義上區分兩個粒子構成的系統與波函數被歸一化 (normalized) 為2的單粒子系統呢？這個問題可從兩個方面來看。其一，就按照
，
計算質量、電荷這類物理量來說，雖然對於兩個粒子組成的系統和波函數歸一為2的單粒子系統，結果都為2，但可能還存在其它性質可以區分這兩種情形，比如還存在其它的某種荷 (輕子數，重子數，…)，對前者的結果為2而對後者可能只為1。再者，比如對於電子這樣的自旋1/2的粒子，前者的波函數同後一種情形有更根本性的不同。前者對應的總自旋應為0或1，而後者對應的自旋只應該是1/2。其二，物質粒子間一般是有相互作用的。兩粒子體系會因為相互作用引入其它內容，故不會混同於波函數歸一於2的單粒子體系。量子理論中物質粒子的可計數性是沒有問題的。
與此相對，光場唯一的可計數物理量是量子化的能量，這也是光子概念的由來。普朗克詮釋的黑體輻射和愛因斯坦詮釋的光電效應中表現出來的光場能量之增減，具有量子化的表現，具體地就是在討論原子或其它物理系統能級躍遷時的 類似「放出或吸收一個光子或兩個光子」這樣的描述。除此之外，縱觀其它的各種光的物理規律和現象，不再能找到光子可以清晰計數的例子。如前所述，若光子之間有某種相互作用，計數便有了依據。然而不同模式的光場之間沒有相互作用。如果存在其它的某種荷，計及荷的總量，則計數也有可行的基礎，但光場也不具備這種性質。當然，我們注意到光子具有自旋為1的性質，它能沿動量方向投影為+1和-1 (這與電子系統當總自旋為1時，其投影可為1, 0, -1 不同) 。對此，J. E. Sipe曾指出：「引進自旋和軌道角動量在光場中是非物理的，只有螺旋性(helicity)在光場中才有意義」[6]。事實上，若光子具有為1的自旋，則根據關於自旋可加性的那套規則， 必會帶來多光子體系會有總自旋為2，3，…的狀態，但實際上沒有這樣的光子多體理論。這裡的根本原因仍在於，沒有單光子在空間中切實存在的物理現實。
5、有質量粒子與光子的互補性比較
前面分析了物質粒子與光 (子) 系統本質上的一些不同。我們也注意到，兩個不同層次的量子化都引入了一個共同的物理內容，那就是互補性原理。每一個自由度都具有一對正則坐標和正則動量算符，它們滿足一定的對易關係。記正則坐標為Q，正則動量為P，對易關係為
其中的不確定度定義為算符的均方差。
對易關係(10)對應傅立葉變換的數學，所謂不確定性所對應的數學關係很早之前就得到了，它不具有特別的意義，或者說它需要我們專門在量子力學語境下賦予其某些物理意義。物理系統在量子理論的框架下，具有互補性和相應的不確定性關係，這是量子化條件帶來的結果。但是，物質粒子與光子系統各自的互補性和不確定性關係卻有不同的物理含義。這是本文特別想強調的一點。先討論物質粒子的互補性及不確定關係。為簡單計，只考慮一維情形為例。一維粒子系統的正則坐標算符就是粒子的位置算符x，正則動量算符就是粒子的動量算符p，兩者的對易關係如(5)式, 則根據 (10)-(11)式，不確定關係為
逆變換為
至此我們可以看出, 有質量粒子和光場有相同的正則量子化敘事，但是前者是自坐標-動量算符對引入的湮滅-產生算符對，而後者的順序恰恰相反。筆者意識到，這恰恰是關鍵問題所在。一個自然的問題是，光子和物質粒子一樣有動量-位置不確定關係嗎？或者說，變換(17)式引入的算符Q(k, l)和P(k, l)分別對應光子的位置和動量這兩個物理量嗎？
關於算符Q(k, l)和P(k, l)是否可分別理解為光子的位置和動量這兩個物理量，文獻[4]的1.3節有相關內容的論述。對於平面電磁波場，
「正則算符對明顯地載有場的依賴於相位的訊息，並在表征和檢測場的壓縮態中起到重要作用。」 然而，這裡的正則算符只是和光場的振幅及相位有關的量，不具有位置或動量的物理含義。文獻[7]討論光場的實驗檢測, 也強調測量是關於電磁場物理量的檢測，談不上是關於光子位置和動量的檢測。光學實驗中，將光電倍增管狹縫的位置作為光子的位置，或者將光-固體作用後留下的微納米尺度的斑點作為光子的位置，都是手動強加 (put in by hand) 的位置信息，是沒有理論支撐的。建立於其上的就雙縫干涉得來的關於光子量子性的討論，有認真推敲的必要。對光子的認識之旅，我們也許還只是處於開始的階段。
6、玻色-愛因斯坦統計與光子的可計數性
可計數性是數學得以建立的基礎概念。孤立出待研究的體系，對近似相同的分立體系計數也是物理得以建立的前提。光子的可計數性應該作為一個問題嚴肅地加以對待。光子概念的內涵還一直是光的能量量子，光具有粒子性，不意味著光子可以與有質量粒子相混同。有人或許會反駁道，我們已經有了光子的統計規律，統計規律的推導過程應該以光子可數為前提啊？這裡可能存在誤解，應藉助概念的歷史演化予以消解。建立在可數統計上的光子統計規律，並未保證有可操作的光子的計數。實際上，玻色得到黑體輻射公式的第三種推導，推導過程中是把光的能量量子放到相空間的單胞 (cell) 里的，而單胞的數目是用體系的相空間體積除以得到的。關於這個做法，用玻色的原話說，是沒啥好說的[8]。筆者之一曹則賢注意到，這實際上是因為用光的能量-動量關係寫出相空間的體積元時恰好含有因子，除以這個因子得到一個可當作數目的無量綱量而已。玻色的這個推導過程沒用到光子的可計數性。玻色的結果引出的一個結論不是光子質量為零，而是光子的化學勢為零。愛因斯坦根據玻色的啟發，緊接著得到了單原子理想氣體的、類似光的統計規律[9, 10]，但他只是用了有質量粒子的能量-動量色散關係而已, 而且是非相對論性的能量-動量關係。玻色-愛因斯坦統計之於一般有質量粒子和光子在表達上的不同，區別不是粒子質量的有無問題。也就是說，即便在玻色-愛因斯坦統計的語境中，把光子當作零質量粒子也得不到關於光子的物理規律。順便說一句，統計之分為玻色-愛因斯坦統計和費米-狄拉克統計，針對的是粒子的自旋而非質量。
7、相對論語境中光的特殊性
有趣的是，在相對論的語境中，光同物質粒子同樣是要區別對待的。光速不變是愛因斯坦作為其建立狹義相對論的一個公設使用的，當然後來人們認識到光速不是變不變的問題—不存在關於如何改變光速的動力學。現在接受的表述是，光速在任何參照框架內都取同樣的值，即我們選取同一個 c 用於參照框架下的時空坐標表示 (x, y, z ; ct)。然而，若我們仔細檢視一番，會發現光速與粒子速度從概念上就有根本的不同。物質粒子速度是矢量，依賴於參照框架，有決定其如何變化的動力學。反觀光速，在狹義相對論的時空坐標表示 (x, y, z ; ct)中它就是一個參數，不具有矢量的性質，這當然是繼承自其在麥克斯韋波動方程里的角色，一個參數，純粹的標量。更重要的是，在麥克斯韋理論中，
，來自兩個獨立的物理常數，在此語境中根本沒有引入參照框架的緣由。也就是說，不是光速是一個不依賴於參照框架的常量，而是針對光就沒有參照框架一說。其實，這可能恰恰映照了這樣的事實，對於場這種全局性的概念，本沒有參照框架的存在理由[2]。光速是嵌入有質量粒子的動力學理論的一個常數，令m=0不能得到關於光的任何行為。
8、結 語
考察量子力學、相對論和統計力學中關於光場的處理方式，以及光子概念的由來和應用，我們有理由認為類似「光子是無質量的粒子」這樣的表述是不確切的。光子的概念一直是作為能量量子出現的，光子的可計數性缺乏物理現實的和物理理論的支持。談論光子的位置是沒有意義的，更不用說光子的位置-動量不確定性關係了。雖然，普朗克和愛因斯坦用光子的概念解釋黑體輻射和光電效應時，心目中的確是把光子當作可計數粒子看待的，但那可以理解為在量子理論發軔之初的經典物理概念的慣性使然。等到關於光 (子) 和其它粒子的更多認識逐步建立起來，光子當作可計數的粒子，尤其是當作無質量粒子，就更顯得失於偏頗了。基於光子可計數性的物理實驗有謹慎檢討的必要。此外，就相對論而言，光沒有參照框架，沒有關於光速改變的動力學；就統計物理而言，光的統計同有質量粒子的玻色-愛因斯坦統計之間的差別也不是光子質量為零的問題。注意到這些關於光 (子) 性質的嚴格描述和背後的嚴格物理圖像，可作為我們進一步深入理解光 (子) 的開始。
本文首發於《物理》2019年第11期。
參考文獻
[1] G. N. Lewis, The conservation of photons, Nature 118, 874 (1926).
[2] 曹則賢， 相對論-少年版，科學出版社(2019).
[3] P. A. M. Dirac, The quantum theory of the emission and absorption of radiation, Proc. Roy. Soc. London A 114, 243 (1927).
[4] Girish S. Agarwal, Quantum optics, Cambridge University Press (2013).
[5] T. D. Newton and E.P. Wigner, Localized states for elementary systems, Rev. Mod. Phys. 21, 400(1949).
[6] J. E. Sipe, Photon wave functions, Phys. Rev. A 52, 1875(1995).
[7] Marlan O. Scully，M. Suhail Zubair， Quantum Optics, Cambridge University Press (1997).
[8] S. N. Bose, Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese, Z. Phys. 26, 178-181(1924).
[9] Albert Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, Sitz. Ber. d. Berl. Akad. 261-267(1924).
[10] Albert Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, Sitz. Ber. d. Berl. Akad. 3–14 (1925).
特 別 提 示
1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單「精品專欄「，可查閱不同主題系列科普文章。
2. 『返樸』開通了按月檢索文章功能。關注公眾號，回復四位數組成的年份+月份，如「1903」，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。
版權說明：歡迎個人轉發，任何形式的媒體或機構未經授權，不得轉載和摘編。轉載授權請在「返樸」微信公眾號內聯繫後台。
《返樸》，科學家領航的好科普。國際著名物理學家文小剛與生物學家顏寧共同出任總編輯，與數十位不同領域一流學者組成的編委會一起，與你共同求索。關注《返樸》（微信號：fanpu2019）參與更多討論。二次轉載或合作請聯繫返樸公眾號後台。