導起機率分布，高斯分布和泊松分布似乎是我們知道的一切，然而，列維分布實際上在自然現象中十分常見。一種被稱為「列維飛行」（Lévy flight）的隨機遊走，可以很好地模擬動物覓食、股票價格波動、地震和湍流等現象。
撰文 | David D. Nolte
翻譯 | 董佳欣
審校 | 梁金
黑天鵝是羅馬詩人尤韋納爾（Juvenal）發明的一種神獸，用來比喻稀少到只能想像的事物，他的原文是「土地上的稀有鳥類，非常像黑天鵝」。
可以想像，1697年荷蘭探險家威廉·德·弗拉明（Willem de Vlamingh）第一次在澳大利亞看到黑天鵝時的震驚。這個比喻演變成一種新的用法，指當一個廣泛持有的信念（黑天鵝的不可能性）被新的觀察結果駁倒。
例如，1870年生物學家托馬斯·赫胥黎（Thomas Henry Huxley）因熱衷於捍衛達爾文的理論而被稱為「達爾文的鬥牛犬」，他在英國利物浦發表了一次演講，Nature 雜誌援引他的話：「……科學的偉大悲劇——一個醜陋的事實扼殺了一個美麗的假說。」
多年來，這句話在許多不同場合被引用和重複。
1973年，費舍爾·布萊克（Fischer Black）和邁倫·斯科爾斯（Myron Scholes）提出一個美麗的經濟理論，作為在華爾街進行完美套期保值的一種方法，據稱該理論沒有風險，但卻能保證股價大起大落時仍獲得正收益。1994年，斯科爾斯和布萊克成立了一家投資公司，將這一美麗的理論變為現實，投資回報率達到令人難以置信的 40%。布萊克於1995年去世，斯科爾斯卻在1997年獲得諾貝爾經濟學獎。第二年，該基金倒閉，令布萊克-斯科爾斯蒙羞的醜陋事實是黑天鵝。
黑天鵝
黑天鵝是指在一系列數據點中出現的異常測量。在黑天鵝事件發生前，數據點表現正常，遵循我們所期望的常規統計，可能是高斯分布，也可能是主導大多數變量現象的其他指數形式。
但黑天鵝出現了，它的數值出乎意料，與其他所有測量結果都不一樣，以至於人們常常認為它是錯誤的，甚至可能將其丟棄，因為它破壞了原本不錯的統計數據，這一數據點以不可忽略的方式扭曲了平均值和標準差。對於這種令人心煩的事件，人們的反應是獲取更多數據，讓平均值再次穩定下來…..直到另一個黑天鵝出現，再次偏離平均值。然而，這種異常值（outlier）往往不是虛假的測量結果，卻是測量過程的自然組成部分，在不影響研究統計完整性的情況下，不應該也不可能將其剔除。
2007年，作家塔勒布（Nassim Nicholas Taleb）在其極具影響力的著作《黑天鵝：極不可能事件的影響》（The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable）中指出，無論是商業、新技術開發、選舉還是金融市場行為，離群值現象幾乎是現代生活方方面面的核心部分。看似表現良好的事物，一套產品、一個集體社會或一系列政府政策，突然被一項新發明、一項新法律、一項最高法院的錯誤判決、一場戰爭或股市崩盤破壞。
舉例來說，讓我們看看布萊克-斯科爾斯錯在哪裡。
華爾街的完美對沖
費舍爾·布萊克（1938-1995 年）是博士生導師的噩夢。他1959年本科畢業於哈佛大學物理系，但在研究生階段轉學數學，後來又轉學計算機，再後來又轉學人工智慧，之後他因嚴重缺乏專注力而被哈佛大學研究生項目開除。於是，他加入蘭德公司，在那裡他有時間發揮自己的想法，最終找到麻省理工學院的馬文·明斯基（Marvin Minsky），在後者的幫助指導下，寫出一篇可接受的論文並被允許提交給哈佛大學應用數學博士項目。之後，他進入金融市場工作。
他對金融理論的著名貢獻是1973年與拜倫·斯科爾斯合著的論文《期權和公司負債的定價》。套期保值是華爾街的古老傳統，指經紀人賣出期權（在以後以給定的價格購買股票），假定股票會貶值（賣空），然後買入一定數量相同資產的股票（買多），作為價格上漲的保險。如果經紀人在足夠多的多頭股票和足夠多的空頭期權之間取得平衡，那麼投資組合的價值就不會受到標的資產價值每日波動的影響。
這種投資組合就是叫做金融衍生產品（derivative）的一種金融工具。之所以叫衍生產品，是因為投資組合的價值來源於相關資產價值，其面臨的挑戰，是在到期前隨時找到其「真實」價值。如果經紀人知道衍生品的「真實」價值，那麼買賣衍生品就不會有風險。
要做到無風險，衍生品的價值就必須不受波動影響。這乍看起來是個難題，因為波動是隨機的，無法預測。但實際上，解決方法恰恰依賴於這種隨機性條件，如果股票價格的隨機波動等同於平均收益率上疊加隨機遊走，那麼就可以肆無忌憚地構建完美對沖。
要對標的資產進行套期保值，可以通過賣出一份看漲期權（賣空）和買入N股該資產（買多）來創建一個投資組合，作為對資產價值上漲可能性的保險。該投資組合的價值為
如果數字N選擇正確，那麼空頭頭寸和多頭頭寸就會平衡，投資組合就不會受到相關資產價格波動的影響。要找到N，請考慮變量波動時投資組合價值的變化
並利用伊藤公式（包含隨機變量影響的隨機微分方程）得出一個優雅的結果
請注意，最後一項包含波動，用隨機項dW（隨機遊走）表示。可以通過選擇
將波動歸零，從而得到
對最後一個等式的重要觀察是隨機函數W已經消失，這是因為N份股票價格的波動平衡了空頭期權的波動。
當經紀人買入期權，在期權到期時有一個保證收益率r，這個收益率是由無風險債券的價值決定的。因此，完全套期保值的價格必須隨無風險收益率的上升而上升。這就是
或
聯立兩式可得
簡化後，可得出V(S, t)的偏微分方程
布萊克-斯科爾斯方程是一個偏微分方程，在給定邊界條件和時間的情況下，它的解定義了導數的「真實」值，並決定在t=0時以指定的保證收益率r（或者，在期權到期日T時指定的股票價格S(T)）買入多少股票。這是一個擴散方程，包含股票價格隨時間的擴散。如果在到期日前的任何時間t出售衍生品，此時股票的價值為S，那麼衍生品的價值由布萊克-斯科爾斯方程[1]的解V(S,t)給出。
該方程一個有趣的特點是沒有標的資產的平均收益率μ。這意味著可以考慮任何價值的任何股票，即使該股票的收益率為負值！這種衍生品看起來就像是真正的無風險投資，即使股票價值下跌也能保證賺錢，這聽起來似乎好得不像真的，當然，這確實是真的。
布萊克、肖爾斯和默頓。肖爾斯和默頓是 1997 年諾貝爾經濟學獎得主
衍生品市場的成功（或失敗）取決於對股票市場的基本假設。這些假設包括：股市不會出現劇烈調整、恐慌或非理性繁榮，即黑天鵝事件，但事實顯然並非如此，想想繁榮和蕭條就知道了。有效和理性市場模型，以及最終的布萊克-斯科爾斯方程，都假定市場波動受高斯隨機統計的支配，然而，還有其他類型的統計與高斯統計一樣表現良好，但也會出現黑天鵝事件。
穩定分布：黑天鵝是常態
當保羅·列維（Paul Lévy）（1886-1971年）於1919年應邀在巴黎綜合理工學院發表三場關於隨機變量的演講時，機率論的數學理論還只是一種原理和證明的鬆散集合。從這些講座中產生的，是他一生對這一領域的研究，如今這一領域已發展成為數學的主要分支之一，儘管二戰期間他在維希法國的反猶主義環境中艱難前行，但在職業生涯中成就卓著，碩果纍纍。他的論文導師是著名的雅克·哈達瑪（Jacques Hadamard），他的學生之一是著名的貝努瓦·曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）。
列維撰寫了多本具有影響力的教科書，奠定了機率論的基礎，他的名字幾乎成為這一領域的代名詞，其中一本著作是關於隨機變量的加法理論[2]，他在書中擴展了穩定分布（stable distribution）的概念。
早年的保羅·列維。｜來源：Annales des Mines
機率論中，如果來自一個分布的兩個獨立隨機變量之和具有相同的分布，那麼這類分布就被稱為穩定分布。正態分布（高斯分布）顯然具有這一特性，因為兩個正態分布的獨立變量之和也是正態分布，方差和均值可能不同，但函數形式仍然是高斯分布。
圖：保羅·列維的隨機變量相加理論
機率分布的一般形式可以通過傅立葉變換得到，即
其中φ被稱為機率分布的特徵函數。穩定分布的一個特例是列維對稱穩定分布，其計算公式為
參數為α和γ。這種情況下的特徵函數稱為拉伸指數函數，其長度標度由參數γ設定。
列維分布最重要的特點是在大數值時具有冪律尾部。例如，α=1時列維分布的特例是正值x的柯西分布，其公式為
在大數值時會隨著x-(α+1)而下降。柯西分布是可歸一化的（機率積分為一），其特徵尺度由γ設定，但它的均值是發散的，違反了中心極限定理[3]。對於滿足中心極限定理的分布，增加分布的樣本數可使均值收斂於一個有限值，然而，對於柯西分布來說，增加樣本數會增加出現黑天鵝的幾率，黑天鵝會使均值偏斜，在樣本數無限多的情況下，均值會發散到無窮大。這就是為什麼說柯西分布有一個「沉重的尾部」，它包含罕見但振幅較大的離群事件，這些事件會不斷移動平均值。
下圖顯示了在α=1（柯西分布）和α=2（高斯分布）之間的列維穩定機率分布函數示例。即使在非常接近高斯分布的α=1.99的情況下，也可以看到嚴重的重尾現象。圖中顯示了α=1、α=1.4和α=2的二維列維隨機遊走的例子。在高斯分布的情況下，均方位移表現良好且有限，然而，所有其他情況下，均方位移都是發散的，這是因為當α接近1時，路徑長度變大的可能性增大。
從α=1（柯西）到α=2（高斯）參數範圍內的對稱列維分布函數。α<2時的列維飛行具有細菌運動中經常出現的奔跑和翻滾行為。
列維機率分布函數的驚人之處在於，它們在自然現象中十分常見，幾乎所有具有尺度不變性（scale invariance）的過程中都會出現嚴重的列維尾。然而，作為學生，我們幾乎對它們視而不見，似乎泊松和高斯統計就是我們需要知道的一切，但無知並不是幸福。正是高斯統計假設導致了 Black-Scholes 模型的失敗。
尺度不變過程通常是質量或能量自然級聯的結果，因此作為中性現象出現。然而，在一些有偏現象中，列維過程會導致某種形式的優化，生物背景下的列維隨機遊走就是這種情況。
萊維隨機遊走
隨機遊走是統計物理學的基石之一，也是布朗運動的基礎。愛因斯坦利用布朗運動推導出著名的擴散統計力學方程，證明分子物質的存在；讓·佩林（Jean Perrin）因其對愛因斯坦理論的實驗證明而獲得諾貝爾獎；朗之萬（Paul Langevin）利用布朗運動將隨機微分方程引入統計物理學；而列維則利用布朗運動來說明數學機率論的應用，並寫下了他最後一本頗具影響力的著作。
對隨機遊走的大多數研究都假定步長或速率為高斯或泊松統計，但當步長取自列維分布時，就會出現一種特殊形式的隨機遊走。這就是列維隨機遊走，貝努瓦·曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）（列維的學生）將其命名為「列維飛行」（Lévy Flight），並對其分形特徵進行研究。
列維隨機遊走最初是作為理想數學模型來研究的，但近年來對其有許多發現，在動物覓食行為中觀察到列維隨機遊走，甚至在細菌的奔跑和翻滾行為中也觀察到列維隨機遊走，據推測，這種覓食策略能讓動物對隨機分布的食物來源進行最佳採樣。有證據表明，分子在細胞內運輸中存在列維行走，這可能源於擁擠的細胞內鄰域內的隨機運動。人們還觀察到一種中間狀態[4]，即細胞內的細胞器和囊泡在沿著細胞骨架附著、遷移和脫離驅動它們的分子馬達時，可能具有列維行走的特徵。
原文連結：
https://galileo-unbound.blog/2023/02/08/paul-levys-black-swan-the-physics-of-outliers/
參考書目選編
Paul Lévy, Calcul des probabilités (Gauthier-Villars, Paris, 1925).
Paul Lévy, Théorie de l』addition des variables aléatoires (Gauthier-Villars, Paris, 1937).
Paul Lévy, Processus stochastique et mouvement brownien (Gauthier-Villars, Paris, 1948).
R. Metzler, J. Klafter, The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach. Physics Reports-Review Section Of Physics Letters 339, 1-77 (2000).
J. Klafter, I. M. Sokolov, First Steps in Random Walks : From Tools to Applications. (Oxford University Press, 2011).
F. Hoefling, T. Franosch, Anomalous transport in the crowded world of biological cells. Reports on Progress in Physics 76, (2013).
V. Zaburdaev, S. Denisov, J. Klafter, Levy walks. Reviews of Modern Physics 87, 483-530 (2015).
參考文獻
[1] Black, Fischer; Scholes, Myron (1973). 「The Pricing of Options and Corporate Liabilities」. Journal of Political Economy. 81 (3): 637–654.
[2] P. Lévy, Théorie de l』addition des variables aléatoire (1937)
[3] The central limit theorem holds if the mean value of a number of N samples converges to a stable value as the number of samples increases to infinity.
[4] H. Choi, K. Jeong, J. Zuponcic, E. Ximenes, J. Turek, M. Ladisch, D. D. Nolte, Phase-Sensitive Intracellular Doppler Fluctuation Spectroscopy. Physical Review Applied 15, 024043 (2021).
本文經授權轉載自微信公眾號「集智俱樂部」。
特 別 提 示
1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單「精品專欄「，可查閱不同主題系列科普文章。
2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回復四位數組成的年份+月份，如「1903」，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。