邏輯推理，我們憑的是什麼？ | 社會科學報

卡羅爾的童話開篇是芝諾悖論的大結局，也就是阿基里斯經歷千辛萬苦終於追上了烏龜。烏龜向阿基里斯提出另一個追趕問題。它翻開《幾何原本》，開始朗讀第一道題里的幾句話：1.等於同一個東西的事物彼此也相等；2.該三角形的兩條邊等於同一個東西；3.這兩條邊也相等。這是一個標準的三段論，顯然，1和2結合在一起就能推出3，我們可以把整個推論寫成一個句子：「若1和2成立，則3成立」。我們把這個句子稱作4。

烏龜建議阿基里斯換個角度想想。如果不考慮這些句子的具體內容，而僅關注其形式，那麼命題4的正確性就不同於1、2、3這些單個命題的正確性。因為根據命題邏輯，即使單個命題錯誤，甚至全都錯誤，整個條件句仍然可能是成立的，從1和2推出3的過程仍然可能是有效的推理。所以烏龜跟阿基里斯說，接受4，但不接受1，也不接受2，這從命題邏輯角度來看是完全可以設想的。

然後，烏龜又問阿基里斯：「反過來說，僅從推理結構上看，我們接受1和2，但不接受4，這有可能嗎？」這裡不考慮1和2兩句話的實際內容，而只把它們當作命題符號。顯然，這樣一來，任何句子都不會天然指向其他句子，因此，接受1和2，但不接受3，也是完全可以設想的。而這就意味著我們可以設想一種很奇特的情形：接受1和2，但不接受4。

結合上述兩點，就得到一個很反直覺的結論：似乎1、2、4三者彼此無關。那麼我們怎麼合理地推導出3呢？這就需要分離規則了。從形式上看，如果我們想從1和2過渡到3，那麼就要接受4，因為這樣，我們就可以用分離規則結合1、2、4，而分離出3。

在阿基里斯同意這點以後，烏龜就立刻指出，從形式上看，根據命題1、2、4得出3的做法，本身又可以寫成一個新的條件句：「若1、2、4成立，則3成立。」而根據相同的理由，從形式上看，這個新條件句5也獨立於1、2、4。因此，為了得到3，我們需要再次使用分離規則，聯合1、2、4、5而分離出3——但這個分離過程本身又等價於另一個新條件句6。顯然，無窮後退的悖謬已經出現，為了從1和2推出3，我們似乎需要插入無窮多的中間命題4、5、6……但這必定是荒謬的。

就像阿基里斯無論如何都能追上烏龜，我們也總能輕鬆地完成那個三段論推理，而不需要任何中間環節。卡羅爾最初投稿的時候，編輯也不明白中間環節的存在究竟有何意義。可見，理解卡羅爾的想法並非那麼容易，而理解之後再去解決其中的悖論更不簡單。

卡羅爾疑難的幾種解決方案

在卡羅爾論文刊登之後數年，羅素在1903版的《數學原理》中稱其為「卡羅爾疑難」，並提出了自己的解決方案。羅素區分了邏輯學裡的「蘊涵」和「衍推」兩個基本概念。「蘊涵」是一個復合命題內部的符號，表達的是命題內部的子命題之間的條件關係，比如「若p則q」就可以寫成「p蘊涵q」。通過蘊涵聯結，兩個子命題合成了一個復合命題。而所謂的「衍推」，則是某個外部命題對於一組命題的後承關係，比如從1和2兩個命題「推出」3。

在羅素看來，當我們在命題邏輯中說「p推出q」成立時，意思是對p的斷定帶來了對q的斷定。而當我們說「p蘊涵q」成立時，並不表示我們對p或q中的任何一方進行斷定，而是斷定了p與q之間的聯結關係本身。以此觀之，卡羅爾從「斷定1和2兩個命題」到「斷定3」的過程是一個衍推，但斷定「若1和2成立，則3成立」就只是在斷定一個蘊涵關係。而卡羅爾疑難最初只是在講衍推，蘊涵式在衍推中並沒有實質作用，所以整個推理過程不需要引入蘊涵式，這樣就不會出現一連串條件命題了。

後來有不少學者持類似的看法，認為卡羅爾把衍推變成蘊涵，或者說把推理過程變成一個條件句，就是在誤導讀者了，以至於在沒有問題的地方故意製造問題。所謂的「不考慮命題內容，只考慮形式上的關聯」這個視角本身就是不對的，我們就應該考慮內容，這樣一來，推理的有效性就非常直觀。

上世紀中葉起，有些學者對卡羅爾疑難又提出另一種解決思路。它也是從一個區分開始的，但不是關於蘊涵和衍推，而是要區分推理活動的前提性命題和規則性命題。前提性命題就是形如p、q、r這樣的東西，或者是由一些命題符號連接起來的複雜命題，比如「非p」「p或q」「p或q蘊涵r」等。我們可以把這些命題視為一個命題組，用符號表示就是{p1, p2, p3,...pn}。這些p可以解釋為對具體事態的陳述，屬於「一階」命題。同時，推理規則本身也總是可以明確表達出來，因此也可以具有和普通命題相同的形式，但表達推理規則的命題是關於「如何從某些一階命題得到其他一階命題」的規範性陳述，因此，它不是關於具體事態的，而是關於一階命題的命題，也就是「二階」的。

基於這個區分，我們可以發現推理規則的意義和作用。一些學者指出，完整意義上的推理過程並不能僅由一階命題的序列構成，還需要把推理規則（特別是分離規則）作為另一個核心要素凸顯出來。換言之，我們不能像卡羅爾那樣把分離規則當作普通的條件命題，也不能用其他方式把它變成一階命題；同時，分離規則作為推理過程不可或缺的二階要素，只有在它不處於一階的層面上，才能發揮其效力，保證推理的正當性。

與此相關，還有少數學者提出一種取消性或實踐性的思路。推理所依賴的規則僅僅是規範性的二階命題，但既然它不描繪任何現實事物，那就談不上真假。而對於談不上真假的命題，我們自然會考慮進一步的問題：我們是不是真的要有這個玩意兒？比如維根斯坦就認為，分離規則是一個沒必要存在的東西，因為推論和前提的關係是否正當，是能夠直接「映現」出來的，只要把前提和結論放在一起，就能立刻「看出」這種必然性，而不用額外引入任何規則來作保證。推理的有效性完全由前因後果自身體現，不需要也不存在任何其他條件為之背書。

到此為止，我們似乎發現卡羅爾悖論的本質並不複雜，它只是沒有分清楚一些基本觀念。一方面，它混淆了「蘊涵」和「衍推」的概念；另一方面，它還混淆了規範性命題與前提性命題，由此造成的困惑好像可以通過澄清概念和劃分層次來解決。

卡羅爾疑難的哲學本質

但事情真有這麼簡單嗎？恐怕不是。儘管現代邏輯學在19世紀末還不成熟，但很難相信邏輯學家卡羅爾不清楚蘊涵與衍推的差別。況且，命題邏輯中最為基礎的演繹定理表明了，斷言「p能推出q」和斷言「p蘊涵q」是等價的。所以，關鍵不在於卡羅爾是否把推理過程變成了條件句，整個疑難也不是使用特定的表述方式導致的。毋寧說，卡羅爾選擇的方式反而能把複雜的討論濃縮進一個條件命題形式中，以此更好地表達出他的疑惑。如果我們退回到推理過程的原初形態，那麼整個問題或許可以這樣來提：為什麼我們會覺得從大小前提得出結論是「自然而然」的？為什麼我們會覺得從烏龜說的命題1和2里「顯然」能推出3？為什麼分離規則是「直覺上」正確的——或者說，為什麼我們會覺得「如果『若p則q』成立，並且p也成立，那麼q不成立」顯然是錯誤的、反直覺的？

以此觀之，卡羅爾也不是對分離規則本身是否具有獨特地位而感到困惑，他困惑的是其效力的起源，或者說推理規則本身的合法性來源。靠直接宣布分離規則的二階地位或直接頒布其合法性，就完全錯失了焦點。取消主義的做法也同樣如此，因為就算分離規則可以扔掉，問題還是沒有解決。根本的困惑不在於要不要把推理的必然性確立為一條規則，而在於這種必然性為何能「直接顯現」自身，對推理正確性的「一眼看出」究竟源自何處。

如果前述解決方案都有缺陷，那麼卡羅爾疑難怎麼解決呢？在原版的阿基里斯悖論中，「距離」的問題能通過級數理論解決，但涉及「運動」概念時，就很難說存在嚴格意義上的「解決」。這裡的問題出自對概念本身的理解，因此比起解決，更準確的定位是「解釋」。只有一種解釋切中了這個概念的實質，才可能視之為某種意義上的「解決」，因為此時我們較好地把握到了這個概念的形成方式和意義來源，不再對概念本身有神秘感或莫測高深的困惑。

卡羅爾從未認為自己的疑惑是對推理規則有效性的否定，正如古人疑惑心跳的原理並不意味著否認心跳現象。他只是希望能理解一切推理中的必然有效性來自何處。這種必然性位於一切邏輯關係的底層，因此其合法性來源的問題本質上不屬於對邏輯系統性質的考察，也因此不是邏輯學家的本職工作，而是哲學家的任務。

哲學家在追溯和解釋推理規則起源時，首先必須避開幾個明顯的誤區。第一，注意不要陷入循環論證，即對推理規則效力起源的解釋中不能使用「推理規則已經起效」這個事實。第二，不能簡單地認為邏輯關係就像物理對象那樣，其客觀性與真理性完全獨立於我們的認知而自動成立，否則必然性觀念的起源問題會引出「因為它本身就這樣」的退化性答案。而「事物本身就這樣」並不能回答「為什麼我們也會這樣認為」的問題，正如物理學史所揭示的，物理知識並不是物理對象本身性質的直接反映，它在很大程度上是我們主體的理解框架、解釋視角以及用現實的實驗工具與其互動的結果。第三，不能因追溯起源問題而撼動邏輯的客觀性，否則這種解釋將失去意義，並且解釋出來的東西並不是真正意義上的邏輯必然性。

所以，哲學家該怎麼做呢？正面回答這個問題並不容易，也不能期望有什麼捷徑。但無論如何，在最顯然、自然和必然的地方發現疑問，是哲學活動自身的品格，也是對我們所有人——不僅是專業的哲學工作者——都有啟發的事情。像人生意義這樣的宏大議題，不也是從這個角度開啟的嗎？

文章為社會科學報「思想工坊」融媒體原創出品，原載於社會科學報第1870期第5版，未經允許禁止轉載，文中內容僅代表作者觀點，不代表本報立場。

本期責編：宋獻琪

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