近期，国内的疫情闹得沸沸扬扬，很多省市自治区都出现了流感的患者。回想起之前在学校的时候曾经研究过微分方程和动力系统，于是整理一下相关的数学模型，分享给各位读者。笔者并不是研究这个领域的专家，并且这篇文章只是从微分方程角度出发，分析方程的性质，不一定适用于真实环境，而且真实环境比这个也复杂得多。
关于传染病的数学模型，在许多年前数学界早已做过研究，根据传染病的传播速度不同，空间范围各异，传播途径多样，动力学机理等各种因素，对传染病模型按照传染病的类型划分为 SI，SIR，SIRS，SEIR 模型。如果是按照连续时间来划分，那么这些模型基本上可以划分为常微分方程（Ordinary Differential Equation），偏微分方程（Partial Differential Equation）等多种方程模型；如果是基于离散的时间来划分，那么就是所谓的差分方程（Difference Equation）。
在本文中，将会主要介绍常微分方程中的一些传染病数学模型。在介绍方程之前，首先要介绍一些常用的符号：在时间戳 上，可以定义以下几种人群：
其次，在时间戳 上，总人口是
。如果暂时不考虑人口增加和死亡的情况，那么
是一个恒定的常数值。
除此之外，
在进行下面的分析之前，先讲一个常微分方程的解。
Claim.假设
是关于 的一个方程，且满足
和
，那么它的解是：
.
Proof. 证明如下：
通过
可以得到
；令
，得到
。所以，
，两边积分可以得到
，其中
。求解之后得到：
。
在 SI 模型里面，只考虑了易感者和感染者，并且感染者不能够恢复，此类病症有 HIV 等；
SI Model
其微分方程就是：
初始条件就是
，
，并且
对于所有的
都成立。
于是，把
代入第二个微分方程可以得到：
。因此根据前面所提到的常微分方程的解可以得到：
.
这个就是所谓的逻辑回归函数，而在机器学习领域，最简单的逻辑回归函数就是
这个定义。而
只是做了一些坐标轴的平移和压缩而已。由于
，所以，
，从而
。
通过数值模拟可以进一步知道：
SI model 的数值模拟（一）
简单来看，在 SI 模型的假设下，全部人群到最后都会被感染。
除了 HIV 这种比较严重的病之外，还有很多小病是可以恢复并且反复感染的，例如日常的感冒，发烧等。在这种情况下，感染者就有一定的几率重新转化成易感者。如下图所示：
SIS model
其微分方程就是：
，其初始条件就是
，
.
使用同样的方法，把
代入第二个微分方程可以得到：
. 通过之前的 Claim 可以得到解为：
.
从而可以得到
且
. 这个方程同样也是逻辑回归方程，只是它的渐近线与之前的 SI 模型有所不同。
SIS model 的数值模拟（二）
有的时候，感染者在康复了之后，就有了抗体，于是后续就不再会获得此类病症，这种时候，考虑 SIS 模型就不合适了，需要考虑 SIR 模型。此类病症有麻疹，腮腺炎，风疹等。
SIR model
其微分方程是：
。其初始条件是
，并且
和
对于所有的
都成立。
对于这类方程，就不能够得到其解析解了，只能够从它的动力系统开始进行分析，得到解的信息。根据第一个微分方程可以得到：
，于是
是一个严格递减函数。同时，
对于所有的
都成立，于是存在
使得
.
通过第一个微分方程和第二个微分方程可以得到：
，因此对它两边积分得到
. 左侧等于
，上界是
，因此令
可以得到
. 而
且是连续可微函数，因此
。这意味着所有的感染人群都将康复。
由于
是严格单调递减函数，因此从第二个微分方程可以得到：当
时，感染人数
达到最大值。
SIR model 的数值模拟（一）
SIR model 的数值模拟（二）
在以上的 SI，SIS，SIR 模型中，还可以把死亡因素考虑进去。除此之外，还有 SIRS 模型，SEIR 模型等，在这里就不再做赘述。有兴趣的读者可以参阅相关的参考书籍。