人们经常说，不要让孩子输在起跑线上，我赞成这个说法。同时，我们每个家长其实就是钉在起跑线上的起跑器踏板。我们这些起跑器要想稳固，靠的是我们不断地读无字之书，拜无言之师。
撰文 | 吴进远
编辑 | 小赛
最近读了一个儿童教育公号某某妈频道中的一篇文章，非常生动地记录了作者被几位海淀家长“碾压”，“狂虐”的故事。除了“东罗马帝国”，“孔雀王朝”，“孩子上小学前一定要明白核聚变原理”这些词语和句子之外，最吸引我注意的是这么一个场面：
说到奥赛，这四个海淀中年老父老母亲，居然还兴奋得像中学生一样，清华爸爸随手扯了张餐巾纸，给大家出了一道奥赛题，没想到他们几个还衍生出多种解题思路。
这几十个字，信息量很大，也许所谓“碾压”，“狂虐”的原因，就藏着其中。成年人应该继续学习，多数人都同意，但这似乎又是句无比正确的废话。遇到实际，人们潜意识中仍然认为学习仅仅是孩子的事，自己管挣钱做饭，把孩子喂饱就行了。
我在工作单位经常接待公众访客参观，华人家庭都很重视孩子教育，家长开车很远送孩子来。但对参观的科学内容很多家长觉得听不懂，没有兴趣。还有过学生参观，带队老师在大厅坐着刷手机的情形。相比之下，美国家长自己对科学内容感兴趣的程度就要高得多，这是一个值得重视的差距。
成年人的继续学习，并不一定都要扯张餐巾纸来做题，但是对于知识，却一定要像中学生一样兴奋。其实，不论对于中学生还是成年人，对于知识，都应该有一种兴奋，好奇，如饥似渴的热情。成年人的继续学习，实际上应该远远不限于读书，而应该是时时刻刻向实际学习，读无字之书，拜无言之师。
这种读无字之书，拜无言之师，不仅提高家长自身的知识水准，更重要的是为孩子树立了榜样，潜移默化地影响到他们的将来。同时，这样与孩子一起学习，很有可能会对孩子提高学习成绩，起到现实的作用。
钱去哪儿了？
经常能够听到有的朋友，痛心疾首地检讨自己看手机沉迷上瘾，浮躁，碎片化阅读等等，但就是改不了。当然，看手机上瘾确实应该改，但碎片化阅读也是阅读，总比不阅读好。关键是要从阅读中得到营养，除了要寻找有营养的内容阅读，更重要的是把阅读到的内容，不管有没有营养，都分解消化成为有营养的。
我自己也刷手机，前一阵，刷到网上流传了一个鸡汤段子：
思维很重要！某同学为了证明钱缩水，做了一道题，把数学老师逼疯了！
这是个高级数学题：
求证：1元=1分
解：1元=100分=10分×10分
=1角 ×1角=0.1元×0.1元
=0.01元
=1分
证明完毕。
数学老师哭了！因为，毫无破绽。稀里糊涂地钱就没了。
这个段子还挺长，还煞有介事地讲“老板思维”如何，“互联网思维”如何。我开始以为就是大家逗逗乐，不用认真，但后来才感觉有些转帖的网友真的以为是“毫无破绽”。因此，有必要认真聊聊这个事情。
记得看到过一个学物理的同学在网上说，谈论数据不说明单位都是耍流氓。这个话虽然有点过激不雅，但道理是对的。
大多数物理量都是有单位的，这些单位与数字一起构成一个完整的数据。在做物理题的时候，大家都会套公式，当物理量代入这些公式时，在本质上我们是把数字与单位一同代入的。从数据到结果，这些单位始终存在，既不能无中生有，也不能随意改变或丢弃。上面鸡汤段子的问题就是胡乱增减单位，家长读到这段，完全可以和孩子一起讨论一下物理量单位的重要性。
大多数情况下，物理量的单位是一个乘数，它与物理量的数值是乘在一起的。一般来说，不同的物理量有不同的单位。因此，物理公式中互相相加的物理量必然是同类的物理量。而在实际运算时，必须将这些物理量的单位转换成统一的单位才能相加。
比如某农家有耕地3亩，房屋宅基地400平方米，要想计算他家的占地总面积，就必须将两个面积的单位统一，或者都换算成亩，或者都换算成平方米。
又如我们把一个220欧姆的电阻与一个2.2k欧的电阻并联，其阻值为：
R = R1*R2/（R1+R2）
=220欧*2200欧/（220欧+2200欧）
=200欧
其中在做分母中的加法前，必须将R1与R2的单位统一。
在物理量的单位是一个乘数的情况下，不同的物理量之间是可以互相乘除的，这些乘除在一起的单位往往组合成一个新单位。比如（公斤*米/秒^2）是一个力的单位，名为牛顿（N）。而（牛顿/米^2）是压强单位，名为帕斯卡（Pa）。
在很多情况下，需要转换的单位之间是百千万这样的简单比值，这种情况下，只要将数值部分的小数点相应移动即可，如：
2.2 k欧 = 2200 欧
75 cm = 0.75 m
不过也有不少需要认真做个乘法的单位转换，比如：
12 （公斤力） = 12 x （9.80665 N）
1.4 （大气压） = 1.4 x （101325 Pa）
有的物理量的单位不简单地是一个乘数，而是隐含了这个物理量0点的信息，这种情况下，单位换算要格外留心。我们学过的温度就是这样一个例子。
日常生活中，我们多使用摄氏度（°C）这个温度单位，但在讨论理想气体的热胀冷缩时，我们就必须使用绝对温标（K）。它们之间的转换关系是：
T(K) = T(°C) + 273.15
除了摄氏温标，很多国家日常生活中还使用华氏温标，他们之间的转换关系是：
T(°F) = T(°C) × 1.8 + 32
这种情况下作单位转换时，就需要又做乘法又做加法。
不过，如果我们换算的温度值是一个差值，就只需要做乘法而不能随意乱加32这个数。比如摄氏温度从10°C 变到11°C，增加了1°C，华氏温度相应从50°F 变到51.8°F，增加1.8°F。
有个在新闻报道中出现的笑话。2015年巴黎联合国气候变化大会达成协议，把全球平均气温较工业化前水平升高控制在2摄氏度之内，并为把升温控制在1.５摄氏度之内而努力。有的新闻媒体为了方便使用华氏温标的受众，在这两个温度值的后面加了括号，写成：2°C（35.6°F）和 1.5°C（34.7°F）。这些记者估计就是把摄氏度的数字敲进谷歌单位换算，压根不管这个数字是不是差值。
物理单位里面的学问非常大，不小心也很容易混淆。不要觉得孩子今后反正搞文科，半懂不懂也不要紧。大家已经看到了前面这则误导受众的新闻，也看到了那个喜感满满的鸡汤段子，大家不想让孩子今后成为这类作品的作者吧。
唱出电话号码的名侦探
既然大家整天捧着手机，我们就再用手机做个实验。打电话要拨号，按下号码键时，电话里会传来很刺耳的尖叫声。按下不同号码键，尖叫声也不同，电话交换机系统通过这样的尖叫声，来传递拨号信息。
电话号码按键用的是双频信号（Dual-tone multi-frequency signaling, DTMF）来传输拨号信息。按下一个键，电话就会产生上图相应的行列里两个频率的声频信号，互相叠加输出。
怎样才能直观地看到这两个频率呢？我在手机上下载安装了一个叫Spectrum View的APP，用这个软件可以对声频信号做频谱分析。
我们用另一个手机产生拨号音。为了避免拨错号打扰他人，比较好的做法是拨通一个自己家人的电话，然后再做拨号音测试，（这样总共需要三个手机，正好是一个全家的亲子活动）。
按下一个键，比如 1 ，我们得到这样一个频谱，每个尖峰对于一个频率成分。
按下 8，得到这样一个频谱。尖峰的位置不同了。
由此可见，拨号音确实是两个频率的声频信号叠加而成。不同的号码，对应不同的频率组合。
如果我们把频谱分析软件设置成谱图显示模式，然后逐次按下 1 到 9，以及 *，0，# 这样12个键，就可以得到下图。
这个图中横坐标是时间，纵坐标是频率，频率成分的强度用颜色来标示。我们可以看出，在每一横排三个键中，对应三个纵列的三个高频成分1209Hz，1336Hz 与 1477Hz逐个出现。而对应于四个横行的四个低频成分，在四组按键过程中逐步增加。
经过这样一个实验，我们就真实地见到了拨号音，确切直观地了解到了拨号音的组成。
现在，我们假设自己是当年设计拨号音的工程师，进一步问自己一个问题：为什么每个号码要用两个频率，而不是一个呢？
可能我们最容易想到的一个原因是防止误操作。如果拨号音是单频率的，那么一个歌唱家拿起电话唱一通歌，就有可能接通一个电话。
（图源：《名侦探柯南：战栗的乐谱》）
而使用双频信号系统，通过唱歌拨打电话就很不容易了。侦探柯南必须和一位女高音一起合作，才能用唱出电话号码。从这个角度看，编剧让他们一起陷入困境，除了艺术上的考虑，还有科学上的原因。如果我们开开脑洞设想一下，只有侦探一个人陷入困境该怎么办呢？办法还是有的，那就是唱“呼麦”。呼麦演唱家可以一个人同时唱出两个音调来。当然，这样的侦探就太超天才了。
当然，采用双频信号，一个显著的好处，是可以减少需要生成与识别的频率的个数。现在这个方案共有四个低频与四个高频，对应于四横行与四纵列，可以支持16个按键（当然现在很多电话只用了三个纵列共12个按键）。而如果使用单频方案，就必须生成与识别16个（或12个）频率。在几十年前，集成电路密度很低的情况下，处理十多个频率是不很方便的。
另外，大家还可以看到，所有这些频率之间都没有整倍数的关系。具体讲，所有横行低频频率的二倍频，都与纵列对应的高频频率有足够大的差别。躲开整倍频的关系有什么好处呢？好处是可以防止另一种误操作。
通常一个物体在周期性振动时，存在多种频率成分。比如作者发出的一个拖腔，频谱如下图所示。
在频谱中的这些尖峰，对应于基频和它的整数倍频。自然存在的大多数声源都有这种倍频成分。而电话系统有时会有一定的非线性失真，这种非线性失真也会使单一频率的正弦波变形，从而生成多种倍频成分。
因此，在我们设计双频信号所使用的频率系列时，避开整数倍关系，是非常重要的。当然，没有简单整倍数关系的两个正弦波往往非常难听刺耳。
无字之书与无言之师既然是无字无言的，就不太会主动提供给我们信息。有很多时候，要我们去动手实验，才能从中获得知识。
这些知识往往存在于世间各个角落，家长要有发现的目光，随时指给孩子看，这样孩子也会养成敏锐的观察习惯。
汤勺和鱼缸
比如去逛杂货店，不锈钢汤勺就是一个很好的光学仪器。正面是凹面镜，背面是凸面镜。可以让孩子看看反射的成像，想想和物理书里讲的是不是一样。
想买条鱼回家做汤，到海鲜部去一看，养着生猛海鲜的鱼缸，前部的透明塑料是向外凸的。
那里面的鱼和龙虾放大了不少，当然海鲜是论斤卖的，但至少鱼缸里的海鲜卖相好了不少。这算不算凸透镜的应用？
假设我们懒得自己做饭了，去餐馆吃饭。餐馆里也经常能看到鱼缸，有时是养生猛海鲜，但也可能是养观赏鱼类。在鱼缸前仔细看看，就能发现鱼缸的侧壁反射率相当高，像镜子一样。
我们知道，这是全反射现象。金鱼身体发出的光，照射到鱼缸侧壁，当入射角大于水与空气界面的临界角，光就会全部反射回来。这似乎看不出有什么奇怪。
不过，我们仔细看看，在照片左上部有一个彩色的光弧，这是什么呢？如果把手机靠近鱼缸前面的玻璃，则这个光弧可以拍摄得更清楚。
我们知道，水的折射率是1.33，对应的临界角为48.8度。由于这个临界角大于45度，从鱼缸侧壁射入的光线，有可能从前壁射出，这样我们就可以“看穿”鱼缸的两个直角玻璃壁围成的空间。我们利用下图说明这个性质。
设想鱼缸外的光线从A处射入鱼缸，经过折射，光线照到B处。只要光线的入射角足够大（对于水和空气界面，这个角度范围为61.3到90度，请读者自证），光线到了B处的入射角就会小于临界角（48.8度），从而射出鱼缸。在B处的观察角如果大于61.3度，就可以看到透过来的光。反之如果观察角小于61.3度，则只能看到鱼缸侧壁全反射回来的光。
透过光与全反射光的分界，对应于在A处内壁的临界角。水是有色散的，因此不同波长的光，其临界角也是不同的，所以这个分界线是彩色的。另外，鱼缸的前壁是用厚玻璃做的，这个彩色的临界角分界线会在玻璃的两个表面来回反射，这就使我们看到多个彩色的分界线。
有的读者可能会问，为什么这个分界线是弧形的？这和彩虹为什么是圆弧形道理是类似的。我想，还是在此处略去1000字，留给大家讨论吧。
如果增加折射率，则临界角变小，当临界角小于45度时，就没有这种“看穿”现象了，而临界角45度时对应的折射率是1.414（根号2）。
所以，如果用乙醇来养鱼，就照不出上面的照片了。
月牙与日食
向无字之书与无言之师学习，有个很重要的方法是向自己提问，把自己问住。这样才能对司空见惯的事物去深思熟虑，从中获得更深刻的理解。这个方法，其实在我们平时的科研工作中也经常用到。
我们现在讨论一个司空见惯的例子，月亮的月相。
我们大家都知道，月亮每个月圆缺变化一次。这是由于，太阳只能照亮月亮的半个球面，而我们在每个月中的大部分时间，只能看到一部分亮的球面和一部分暗的球面。比如在新月的时候，可以看到下图这样的景象。
而另外一种天文现象日食，虽然不是经常发生，但很多人在一生中可能会见过至少一次日偏食。日食是月球处在太阳和地球之间，将太阳遮挡造成的。
在比较深度的日偏食发生时，太阳看上去似乎也有点儿像月牙。
这就出现了一个问题，我们凭什么认为，日食形成的机制是月球遮挡，而月牙形成的机制是月亮半亮半暗呢？当然，我们可以说，这是科学家告诉我们的。但我们为什么要认可科学家说的呢？
我们可以不可以开一下脑洞，把这两个机制对调一下？比如我们想象在地球和月球之间，有个煤黑无光的卫星，每个月把月球遮挡一次，从而出现月亮的圆缺变化。而对于日食，我们可以想象太阳只有一半是燃烧的，另一半是黑的，日食的时候，黑的这面转到了面向我们。
这个奇怪的理论当然是错的，但为什么是错的呢？仅仅是由于和科学家说的不同并不作数，即使科学家来了，也必须告诉我们为什么是错的。
我们可以有许许多多的论证，来说明前面这个理论是错的。但最有力的一个论证方法是通过观测结果，来证伪这个理论。我们前面的两个照片本身就是观测结果，但仅仅看这两个照片，似乎看不出我们这个理论有什么不对。这就需要我们获得更多的观测采样点。比如在有光面积比较大的情况下，我们可以进一步比较月相与日食之间的差别。
从这两张照片，我们可以看出二者的显著不同。当然，我们在对此作出科学论证的时候不能简单地写上一句“你看”就完了，而应该用数学语言把我们看到的情景描述出来。
月亮上的明暗分界线是空间中的一个圆，这个圆与月球有一个公共的直径。而日食里的明暗分界线也是一个圆，但这个圆与太阳并没有一个共同的直径。这样两种明暗分界线，分别与半球亮半球暗以及圆球遮挡相互自洽，而不是相反。所以，科学家说的确实是对的，但我们并没有盲从，而是通过我们自己的观测与思考，把问题想清楚了。
人们经常说，不要让孩子输在起跑线上，我赞成这个说法。同时，我们每个家长其实就是钉在起跑线上的起跑器踏板。我们这些起跑器要想稳固，靠的是我们不断地读无字之书，拜无言之师。