一篇文章帮你搞定忍者考试！| 福利

年关将至，又到了学生党们夙兴夜寐、焦头烂额地准备期末考试的时候啦。所以值此（喜大普奔，来自工作党的窃喜）期末复习的关键时刻，我们也特地为学生党们准备了一份“忍者考试防挂科指南”，希望通过一道考试真题的全方位解析，让大家了解考试通关的秘诀，从而可以（安心回家过年）取得理想的成绩。

不知不觉中，2019年已然离我们远去。随着气温的不断下降，小编也不禁感叹，冬天来了，期末考试还会远吗？

图片来源：youku

所以在此辞旧迎新之际，我们特别为大家准备了一份“忍者考试防挂科指南”，以中忍选拔考试第一场笔试的真题为例，为大家讲解考试通关的终极秘笈。

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“麻吉亚巴库内！”

真题解析

首先请看真题

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“图中的抛物线B，是忍者A在7M高的树上扔出手里剑的最远距离。那么请通过投掷手里剑所呈现的抛物线得出忍者A在平地战时可以扔出的最远距离，并写出计算依据。”

这类问题对于终日研究忍法的忍者们来说可能还是有点难度的，

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小编表示一直无法理解为什么佐助可以一脸得意的说出这么羞耻的事情来

不过对于我们而言，只需要借助中学的物理学知识就可以轻松搞定。

考虑一般的情况，即A处忍者在投出武器的时候，存在斜向下的速度分量。那么，如果令v0为初始速度，θ为初始速度与垂直方向的夹角，那么我们可以轻易得到，

这里为了稍微简化问题，令θ取0（也就是没有斜向下的速度分量），得到下落时间t

从而可以得到

（当然也可以假设θ不等于0，那么就需要解v0的方程，仍然属于初中数学的范畴。）

下面考虑平地战时的情况。假设此时速度与地面的夹角为θ，那么垂直方向上的速度分量即为v0·sinθ，所以武器落地前的运动时间为

那么运动的距离可以表示为

所以显而易见，当θ=45°时，L取最大值。代入v0，得

不过考虑到实战中遇到的情况往往比较复杂，所以实际的试题也会略有变化。这里我们不妨将条件稍作修改，以方便大家举一反三。请看下面的例题：

例 1：时间最短的轨迹

假设“鹰小队”一行四人来到悬崖旁，对悬崖下同一目标发起突袭。

图片来源：“李洛克的青春全力忍传”英文维基

（“这番都有自己的维基网站，老外果然好闲啊！”

——来自本文作者的吐槽）

在仅仅考虑重力作用而忽略摩擦力的情况下，众人将某个可以视为质点的远程武器从A点释放。释放时武器速率为零，沿某条曲线运动，最终击中位于B点的目标（假设B点不高于A点）。问该武器应以何种曲线运动才能令到达B点所需的时间最短？

解析：

考虑到观众老爷们对简洁分析过程的钟爱（都不喜欢复杂的数学公式），这里我们参考约翰·伯努利（Johann Bernoulli）的思路，利用费马原理（“两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径”）来对问题进行分析。

熟悉我们的读者肯定可以猜到，这时候我们又又又又又要介绍满门都是数学家的伯努利家族了。本文提到的约翰·伯努利是雅各布·伯努利（重要成果包括积分、极坐标系理论，悬链线、等时线方程，概率论中的伯努利试验与大数定理等）的弟弟，丹尼尔·伯努利（伯努利定律的发现者）与尼古拉二世·伯努利（研究领域涵盖微分方程、概率论及流体力学）的父亲。而数学大师莱昂哈德·欧拉正是约翰·伯努利的学生。

这里我们需要用到初中课本上讲过的机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的物体系统内（或者不受其他外力的作用下），物体系统的动能和势能发生相互转化，但机械能的总能量保持不变。

图片来源：bilibili

举一个栗子~

由此可知，

式中h代表物体在竖直方向上的下落距离，g为重力加速度。接下来我们祭出初中物理课本上讲过的光学知识，我们假设光在速度v时也满足形式

那么根据折射定律，一束光在密度不均的介质中传播时存在常数θ，使得

其中c代表真空中的光速。

根据折射定律，光线与法线的夹角正比于介质中的光速。上图中x轴上方为真空，下方为某种介质。调整介质中的入射角，可以使折射角等于π/2，也就是90°。图中θ为轨迹与竖直方向的夹角，dx为水平方向路径微分，ds为光路方向路径微分。

根据正弦函数的定义可知

所以带入到前面的公式中可以得到

稍作整理，易得

我们可以仿照前文的设定，假设真空中的光速c满足

那么带入到dx的方程，可以得到

即

也许有的小伙伴对于上面的方程不太熟悉，不过我们可以写出它的参数方程的形式，一切就会真相大白。

没错，这就是著名的摆线方程。

图片来源：《惊艳一击——数理史上的绝妙证明》

图片来源：wikipedia

摆线的产生

不过对于这个结论，也许有人会提出质疑，毕竟与我们的常识有些出入。（但是有这种错觉的同学也不必自我怀疑，毕竟当年伽利略也以为这条线是圆弧。）所以为了打消大家的顾虑，我们用Python算一下这条轨迹的下落时间与其他常见轨迹下落时间（让“鹰小队”的四位亲自确认一下）。

显而易见，摆线（cycloid，也就是佐助代表的曲线）的下落时间要快于圆周、抛物线和直线。

知识点：这道题涉及的问题就是历史上赫赫有名的速降线（Brachistochrone）问题。速降线问题一般被认为是变分法和泛函理论的发端。相较于传统函数从数域到数域的映射关系，泛函可以视为从函数空间（如直线、摆线、圆、椭圆等）到数域（如下落所需时间）的映射。

关于约翰·伯努利，这位数学家其实也非常值得八卦一下。约翰早年曾经和哥哥雅各布一同研究数学，但后来逐渐开始嫉妒哥哥的才华，两兄弟时常互相较劲。雅各布去世后，约翰·伯努利又开始嫉妒儿子丹尼尔·伯努利。据说约翰曾故意提前虚报作品的完成时间，为的竟然是可以比儿子同类成果的完成时间更早。此外，在牛顿与莱布尼茨关于微积分发明权的争夺战中，约翰果断站队自己的老师莱布尼茨，同时还猛烈攻击牛顿的万有引力定律，导致万有引力定律在很长一段时间内无法被欧洲大陆的科学界所接受。约翰·伯努利和洛必达还有一段剪不断理还乱的纠葛，欲知详情，请移步《Gaussian、Eulerian、Cartesian……数学家们的谜之命名法》。

例 2：同时到达目的地的曲线

假设草帽一伙相约在香波地群岛的“Thousand Sunny号”处汇合。

图片来源：集英社

在不同位置的众人发现可以通过某一滑道直接来到目的地。设众人不使用技能或者恶魔果实的能力，且可以视为质点，阻力不计，最终众人同时来到“Thousand Sunny号”。求该曲线的方程式。

解析：

诸位第一眼看到这一问题时，肯定会有一种似曾相识的感觉：将质点置于曲线之上，质点下滑的时间与释放点无关——这不就是初中学过的简谐运动嘛。一旦想到了这一层，问题就变得too simple，甚至有些naive。

图片来源：wikipedia

草帽一伙的运动情况（左图）

vs

单摆运动情况（右图）

图片来源：giphy

简谐运动中的汪星人~

首先我们假设在重力作用下质点的运动轨迹与单摆相同。从中学物理课本上我们已经知道，单摆的运动满足，

其中s为最低点与质点之间的弧长。我们假设释放质点时t = 0，显然有

其中s0也就是终点与起点之间的弧长。由于题目中草帽一伙是沿着斜面自由下滑的，所以加速度为

结合前面提到的加速度公式，我们有

两边取导数后稍作整理，得到

根据初中的三角函数知识，显然

剩下的操作就非常简单了。只需要将dx与dy的两侧同时作积分，就可以得到

如果令

我们就会得到一组熟悉的式子，

没错，这就是我们在例1中见到的摆线。

图片来源：youku

当然，会有细心的同学发现，例1和例2中的式子并不完全一样，但是本质上其实并没有什么区别（无非是一个开口朝下，一个开口朝上）。

{x= (t - sint ),y= ( 1 - cost )}

{x= (t+ sint),y= ( 1 - cost )}

知识点：这道题涉及的问题就是历史上另一道十分著名的题目——等时线（Tautochrone ）问题，即将一质点放置在此曲线上任一点使其自由下滑（不计阻力）至最低点所需的时间皆相等。等时线问题最早由惠更斯给出解答。在他1673年的著作里已经利用几何方法证明了等时线即摆线。不过，几何证明比较晦涩难懂，且连篇累牍，故（读者恐怕不会喜欢看）此处不展开讨论。之后拉格朗日和欧拉给出了这一问题的解析解。现代物理教科书上对这一问题的阐释往往会采用阿贝尔的思路。对上述内容感兴趣的同学请移步曹则贤老师的新书《惊艳一击——数理史上的绝妙证明》。

例 3：绷带的形状

已知黑崎一护在自己的意识空间发现了自己的斩魄刀（西瓜刀）的新用法。

图片来源：Anime And Manga Universe Wiki

某次战斗中，一护将自己的刀甩出，发现刀插在了自己对面的建筑上。已知绷带一端与刀柄相连，另一端在黑崎手中。假设绷带的粗细与质量分布均匀、柔软但不能伸长，此刻仅仅受到重力的作用，问其所形成的曲线的形状。

解析：

为了简化问题，这里我们对绷带上任意一极小的一段做受力分析，如下图。

假设绷带的密度为ρ，而这一小段绷长度为s，其受到相邻一点沿着曲线的力T，设T和水平方向夹角为θ，则显然有

其中dx与dy分别为水平方向和垂直方向的路径微分。为了简化公式，我们假设

那么，我们可以得到

接下来我们用一点课外知识——弧长公式。根据弧长公式，s可以表示为

两边取微分，稍作整理可以得到

也即

结合前面得出的dx与dy之间的关系，我们有

剩下的工作就是对dx与dy求积分（思考题：两次积分运算的思路是否相同？），整理后得到

顺带提一下，Cy与Cx是积分常数，这里取零并不失一般性。至于原因，那自然是由于我们可以移动坐标轴，从而使积分常数为0。

图片来源：豆瓣

移动的坐标轴大概就是这个样子吧~

知识点：这道题涉及悬链线（Catenary）问题。悬链线是一种十分常用的曲线，物理上用于描绘悬在水平两点间的因均匀引力作用下的软绳的形状。很巧的是，这一道题也有伯努利兄弟的参与。悬链线问题最早据说是由达·芬奇提出的。之后伽利略、雅各布·伯努利等人都有过研究。但他们猜测悬链线的形状是抛物线，所以这一问题一直没有得以解决。真正带来突破的是莱布尼茨、惠更斯与约翰·伯努利，他们的方法都是利用二次微分方程进行求解，最终也得到了正确的结论。本文涉及到的方法双曲余弦函数cosh(t)，但是在伯努利的时代并没有双曲函数（双曲函数是由数学家约翰·海因里希·兰伯特于18世纪引入的概念）。不过这也并不影响伯努利他们得出正确的结论，因为根据定义，

所以悬链线也可以表示为

彩蛋时间

在搜寻忍者考试真题的时候，我们意外地发现了这样一道题目：

图片来源：youku、zhihu@无妄之神

“大人，时代变了！”

致谢：本文作者感谢外研社综合出版事业部科学工作室同事对于文稿的审读，尤其感谢编辑刘雨佳老师在日语和忍法知识上给予的支持。

看完今天的科普，肯定会有同学觉得意犹未尽。那么问题来了，有没有这么一本书，可以在还原科学定理产生历史的同时，深入浅出地介绍其背后蕴含的科学道理呢？

对，是它，是它，就是它，我们曹则贤老师的新书《惊艳一击》！！！考虑到期末周将至，外语教学与研究出版社为广大考试党提供了香喷喷的福利！即日起到本周五中午十二点留言点赞前三名将获得曹则贤老师的力作《惊艳一击》一本！有曹则贤老师的“绝妙证明”加持，保佑你期末大吉，门门顺利！

央视“加油向未来”节目科学顾问曹则贤老师倾情巨献，收录数理史上数十例绝妙证明，涉及一百八十多位名家。因材施教，激励少年读者循着先哲开辟的道路前行。

编辑：aki