物質同能量之間的關係是個歷史久遠的問題。牛頓就曾發問過，物質和光之間難道不可以相互轉換嗎？對太陽發光機制以及對原子核放射性產物的動能來源的詰問，啟發了關於物質與能量之間的等價關係和轉化過程的思考。1900年，法國科學家龐加萊認為電磁場有動量 mv=(E/c^²)c ，其中 E/c^² 等價於質量。1903年，義大利人德·普萊托假設以太以光速振蕩，而物質是響應以太振蕩的，故質量為m的物質具有 mc^² 的潛能。愛因斯坦首先從相對論的角度理解能量-質量(慣性)等價性的深刻含義。1905年愛因斯坦從相對性原理出發，考慮原子向相反方向發射兩束光的過程，得到了關係 E=Δmc^² ，即原子發射出能量為E的光，相應的質量減少為E=Δmc² 中的Δm 。愛因斯坦自相對性原理得到這個關係式，它意味著能量守恆和質量守恆的合併。受此啟發，普朗克

愛因斯坦得到的是 E=Δmc^² 形式的質能關係，其論證過程包括動能定義不正確、涉嫌循環論證以及未考慮廣延物體同質點粒子之間區別等瑕疵。1911年，勞厄用能量-動量張量概念針對能量-動量張量不隨時間變化的情形證明了質能等價關係。m=E/c^² 形式的質能等價關係的詮釋是，靜止參照框架內能量為E的廣延體系，其作勻速運動時的動力學行為等同於一個質量為 m=E/c^² 的質點。1918年克萊因推廣了勞厄的結果，他只需假設系統是閉合的而不要求能量-動量張量不依賴於時間，運用四維高斯定理得到了的質能等價關係，至此質能等價關係的推導才算塵埃落定。質能等價關係，一如別的物理思想，都是物理學這條連綿河流中的某個節點，都有其淵源。物理學不相信橫空出世。

一般核物理過程涉及的質量-能量關係是 E=Δmc^² 。類似正負電子對湮滅的過程，對應的關係才是 E=mc^² ， 即質量各為m的電子-正電子，湮滅為一對光子時，光子的能量為 E=mc^² 。這個公式的圖像中，質量和能量是有不同的載體的。關於質能關係有相當多的誤解，其中較著名的有根據

臆造出什麼靜止質量同運動質量的區別。質量是粒子的標籤，是一個相對論不變量。造成這種誤解的一個根源是未習慣於用4-矢量和張量來理解相對論動力學，執其一點而隨意發揮。在狹義相對論中，能量是以 E/c 的形式作為動量的分量，以及以能量體積密度的形式作為能量-動量張量的一個分量出現的，其變換由相應的洛倫茲變換得到。談論質能關係以及能量-動量守恆問題時，應使用相對論動力學表示加洛倫茲變換的語言。

關於質能關係的驗證問題，核反應過程驗證的是 E=Δmc^² ，這是個釋放結合能的過程，並不是什麼質量轉化成了能量。有些涉及中子的核反應過程也被拿來作為質能關係的驗證，因為中子質量是利用質能關係確定的，這種所謂的實驗驗證就涉嫌循環論證了。類似E=mc^² 這樣的相對論標誌式公式，其正確性更多地來自理論基礎及其同其它理論的自洽性。

提示：本文內容硬核，故摘要偏長，只讀摘要也可。

作者 | 曹則賢（中科院物理研究所研究員）

The atom M is a rich miser…...⁽¹⁾

-Albert Einstein

1 質量與能量

質量和能量是歷史永久的科學概念。從前，質量和能量是兩個獨立的概念。從化學反應，化學家總結出了質量守恆定律。從落體的高度與速度之間的轉化， 物理學家總結出了機械能守恆定律。動能-勢能之間的轉化，來自可見的高度與速度之間的轉化，可視才是關鍵！機械能和熱結合到一起，於是有了一般意義上的能量守恆定律。物理學家相信這樣的守恆（不變性！）定律可以繼續擴展到所有領域。比如，質量和能量也存在某種等價關係或者守恆律嗎？

1704年，牛頓在《光學》一書中曾發出疑問：「重物和光不可以互相轉化嗎？」19世紀末，一個待解的物理之謎是太陽的能量來源與放射性過程所產生的高速粒子的動能問題。英國物理學家普萊斯頓（Samuel Tolver Preston,1844-1917）在 Physics of the Ether （以太的物理，1875）一書中指出，若將物質分成以太粒子，這些以光速傳播的以太粒子則代表著巨大的能量。1903年，義大利人德·普萊托（Olinto de Pretto, 1857-1921）則假設分子、原子和亞原子粒子都能響應以太的振動，因此質量為m的粒子包含量為 mv^²（v是以太振蕩速度，即光速）的潛能，來解釋放射性粒子的動能問題。法國大學問家勒龐（Gustave Lebon, 1841-1931）在Evolution de matière （物質的演化，1905）一書中指出，物質可完全分解為光，其能量為

，且稱之為énergie intra-atomique （原子內的能量）。

質-能關係在龐加萊1900文章中是同一個悖論（電磁能的消滅與產生）相關聯的。 龐加萊認識到電磁能的行為如同具有慣性的流體，故他把『流動的』電磁場當成一種想像的流體（fluide fictive）。龐加萊提出了輻射動量的概念：若一定體積內封閉了電磁能量dE，則這種假想流體有動量，對應的質量為 dm=dE/c^² 。在 sur la dynamique de l』électron（論電子的動力學，1906）⁽²⁾一文中，龐加萊為電子引入的拉格朗日量形式為

，也即電子的勢能為 U=mc^² ，即靜止的電子具有能量 E=mc^² 。在經典電磁學，一個粒子在電磁場中被電場加速做功，在dt時間內吸收能量為dW（來自電場方向），獲得往前的動量（k 方向，來自洛倫茲力）為dW/c。而這些都來自電磁波，可以認定電磁波有關係p=E/c。19世紀末20世紀初的一段時間裡，為了理解帶電物體的質量如何依賴於靜電場， 那時已有電磁質量的說法，

2 德·普萊托的質能關係

在義大利人德·普萊托1903年的文章中，公式 E=mc^² 已現身影，源於對以太和放射性問題的研究。德·普萊托注意到，幾乎沒有動能的原子核，其放射出來的粒子卻具有極大的動能。放射性粒子的巨大動能必須有個來處，如果人們堅信能量守恆的話，則必須認為在物質內部潛伏著某些能量，其對我們總是隱藏的。

德·普萊托接下來論證的基礎概念，依然是以太。在以太這種流體中寄存著宇宙的能量，無窮盡的能量，且此能量處於最簡單的、最原初的形式（sotto la forma più semplice ed originaria）；其它的能量，例如光能、電能和熱等等，不過是導出性的，是由運動引起的。以太一直在平衡位置附近連續振動，而這個快速運動應該原子或者分子甚至原子以下的粒子所接收到。如果整個物體都被無限小尺度上的運動激發了，非常快，象以太一樣，那麼可以認為這塊物體，其中每個粒子都以同樣的速度在空間中整體一起運動的這塊物體，隱含著由這個物體的內部質量所表示的那麼一坨能量（una somma di energia rappresentata dall'intera massa del corpo），也即對應的能量為mv^²，v是以太振動的速度，即光速。這個論證導向一個出乎意料的、令人難以置信的結果。在一公斤的物質中，完全不為我們所感知，竟然儲存著這麼大量的沉睡的能量，足以抵得上萬億公斤的煤。這想法無疑地會被判定為太荒唐了（l'idea sarà senz'altro giudicata da pazzi）。一公斤的物質，以光速拋出，攜帶的能量之大難以想像。此一嚇人的結果何時曾挑動過我們的神經呢？

德·普萊托的論證還包括對慣性（惰性）的理解。物質是惰性的（la materia è inerte），這不應被理解為「非能動的」。惰性一詞指的是，物質真正的要務就是響應以太的行為。物質確實跟從以太的作用，可使用和儲存其能量。

德·普萊托得出質量為m的物質攜帶量為mv²的潛能的結論，是基於以太的概念，論證過程包含不少錯誤，但自有其深刻的思想意義。但是，這個思考是我們走向正確理論的邏輯鏈條中的一環。愛因斯坦1905年發表了「物體的慣性依賴於其所蘊含能-量嗎？」一文，其中的Energieinhalt （能的含量）一詞在德·普萊托思想的基礎上就非常容易理解。質量對應著一定的潛能，這個能的多少決定了物體的Trägheit，即慣性（質量）。質能關係里的質量是慣性（質量），慣性質量是物體存儲的能量。

3 愛因斯坦的質能關係

，

如果本理論對應實際情況，則射線在發射體和吸收體之間傳遞了慣性（質量）。愛因斯坦的這個推導談不上優美，實際上它備受批評，但它是自相對性原理的推導，意味著質量與能量之間的聯繫來自相對性原理的要求（postulate），意味著質量守恆和能量守恆的合併。1905年，相對論還只是嶄露頭角，相對論力學尚未建立起來，要求一下子得出正確的能量-動量表達是不現實的。愛因斯坦也知道自己推導的不嚴謹，他後來不停地想證明質能等價關係 （參閱愛因斯坦於1905, 1906,1907, 1907, 1912, 1935, 1946發表的文章），跨度長達40年。1946年，愛因斯坦才把質能等價公式寫成 E=mc^² 的形式，出現在文章的題目中。這個公式此處的寓意是：「質量為m的粒子，具有內稟能量mc^² 。」 愛因斯坦自己從未宣稱擁有這個公式的優先權。

4 電子-正電子湮滅

5 勞厄和克萊因的最終證明

既然認識到相對性原理是要求，那就要把物理定理轉化（transfer）為相對性理論。就動力學而言，相對論的動力學一般來說是很複雜的。1911年，勞厄拓展了普朗克、閔可夫斯基等人關於動力學的工作。他從連續介質動力學著手，把連續介質動力學放到質點動力學之前邏輯上更顯合理。勞厄討論了把力改造為4-矢量形式 F 的問題，以及湊成正確的能量-動量張量的問題，能量-動量張量 T 的分量

根據勞厄的結果，一個靜止時總能量為E⁰的完全靜態的系統，即內部沒有流的系統，當它以速度v運動時，有

；

。記 m=E^⁰/c^²，則上述兩個公式可以理解為，總能量為E^0 的完全靜態的系統，作勻速運動時其行為如同質量為 m=E^⁰/c^² 的質點。這是相對論質能關係在動力學語境下的詮釋。

6 關於質能關係的再說明

關於質能關係的一個誤解是把核反應的能量釋放過程按照公式 E=Δmc^² 解釋成了質量轉化成了能量。其實，Δm 是反應前後粒子 (們) 的質量差，這個過程釋放的是結合能。 E=Δmc^² 的意思是，結合能部分在反應前的粒子裡貢獻了大小為 E/c^² 的質量，這恰是詮釋質量起源會用到的那套語言。 Δmc^² 反映的恰是原子核層面及其下的結合能遠大於原子、分子層面的結合能。當我們反過來理解質量大於質量總和，也即能量成了質量起源的時候，會有另一種感覺。質能關係可用於理解核過程的能量釋放問題，它也提供了粒子質量來源的問題—基本粒子每一個層面的質量都大於下一層面單元的質量總和，差別來自將構成單元結合到一起所需的能量。這個邏輯鏈條的盡頭，一定著落到一個無質量的構成單元上。

必須指出，理解物理要儘可能依託完整的物理圖景，不可以在局部上任意發揮而罔顧學問整體上的自洽性。公式

表達的是一個質量為m的粒子運動時的能量，數學上是個 E=E（v） 的函數，不可以把它總按照 E=mc^² 來理解得到一個質量隨速度的變化—這種理解從數學、物理兩個方面來看都是不合適的。粒子的質量，如同粒子的電荷、自旋，是粒子的標籤。粒子質量就是靜止質量，它是個不變量。公式

描述的是質量為m的粒子在給定參考框架內運動狀態下所具有的能量。特別地要指出，把質量概念應用於光子更加需要謹慎。光子有能量，速度始終為c且沒有參照物。筆者以為，不是光子是零質量粒子，而是關於光子，質量的概念無從談起 （試看它的洛倫茲變換）！關於相對論語境下的能量問題，包括能量的轉化與守恆，需要用嚴謹的動量4-矢量和能量-動量張量的相對論理論加以理解。具有動量p的質量為m的粒子，其能量-動量關係為 E^² =p^²c^²+m^²c^⁴ (Dirac, 1928)，這才是正確的物理表述。

愛因斯坦的結論 E=Δmc^² ，有一個比較正確的推導過程。設想有質量為m的靜止物體，其向相反方向發射兩束電磁能量脈衝，能量各為 E/2 ，發射後該物體質量變為 m' ，但應該保持靜止（位置不變），因為兩束能量脈衝對應的動量數值各為 E/2c ，方向是相反的。現在，在一個沿著電磁能量脈衝方向以速度為v的觀察者看來，基於洛倫茲變換，動量守恆關係應為

。根據相對論原理，在靜止觀察者眼中，物體發射電磁輻射前後位置不變，則在運動觀察者眼中，物體發射電磁輻射前後的位置也不變，則必有 v'=v，即發射前後相對於觀察者該物體的速度都是v，簡化上式，得 E=(m-m')c^²。這個推導，就不象愛因斯坦的推導那樣，需要作關於 v^²/c^² 的一階近似。

對粒子成立，但對廣延物體是否成立，是需要認真考慮的。粒子的動能該是

。廣延物體的相對論動力學具有內稟的複雜性， 不能忽略廣延體系的內部動力學。非相對論物理，可以近似地認為一個廣延的物體的動能具有同樣的形式，速度為質心的平動速度。伽利略的速度相加，使得一個粒子體系的平動動能之和可以表示為質心的動能加上相對質心的動能之和。相對論里的動能不能這樣處理。一個物體的總能量為其靜止時的能量加上動能的說法， 只是近似正確。一個參照系中某個力已經對體系做功而在另一參照系中則尚未做功，當然能量就不一樣啦。對於受力的廣延物體，無法定義動能。不知道動能的形式，是無法得到質能關係的！動能的這個困難，使用應力-能量張量就解決了！

愛因斯坦1912年曾假設廣延的物體有類粒子的能量表示，

，這個做法太直接了些。如果是這樣，那還有啥好證明的，令v=0 ，即得 E=mc^² 。勞厄把建立所有形式能量的慣性（這才是真正的質-能等價性）的建立歸功於愛因斯坦，是因為愛因斯坦首先從相對性原理的角度理解那個等價性的深刻含義。

有一些對損失質量-釋放能量的過程進行測量以精確驗證質能關係的研究，其中甚至用到

這樣的核反應過程。然而，帶電粒子的質量由質譜測量方法可得到一個由電磁技術保證的精度，而中子質量是假設質能關係成立由實驗結果得來的，若反過來被用於證明質能關係的精確程度，那就是循環論證了。類似 E=mc^² 這樣的結果，其正確性更多地來自其得來的理論基礎及其同其它理論內容的自洽性。實驗的意義，筆者以為在於實驗結果同公式的明顯偏差讓人懷疑它的正確性；但是，以為這樣的公式需要精確測量來驗證其正確性，就太荒唐了。質能關係一直在使用，從未被驗證——它也無需驗證。筆者願意再次強調，自洽性和完整性才是理論正確的保證（Self-consistency and integrity of a theory are the guarantee of its correctness）。

參考文獻

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[16] Felix Klein, Űber die Integralform der Erhaltungssätze und die Theorie der räumlich-geschlossenen Welt (守恆率的積分形式與空間閉合世界的理論), Nach. Gesells. Wissensch. Göttingen, Math.-Physik. Klasse, 394-423 (1918).

注釋

(1) 「原子是個富裕的吝嗇鬼」，出自愛因斯坦1946年的文章。愛因斯坦接著為原子內潛伏著大量的能量而我們卻未曾察覺提供了一個有趣的比喻：「一個不花錢的人你根本不知道他多富有。」

(2) 這個說法見於Christian Bizouard的文章 E = mc² l』équation de Poincaré, Einstein et Planck (E = mc²：龐加萊、愛因斯坦和普朗克的方程)。但是，龐加萊1905，1906年的文章中似乎沒有這個內容。

(3) 漢語把Energie, energy翻譯成了能量，正確的翻譯按說是能。Energy content，或者愛因斯坦用的Energieinhalt，才是能的量。同樣的, mass 反映的是物質的一種特性，quantity of mass 才是質的量。把energy 和 mass 翻譯成了能量和質量，無形中強調了量(多少)，而很多時候它們指的是那種性質而不問量的多少

(4) 此處的幾個坐標系應同時理解為參照框架。

本文摘自曹則賢 《相對論-少年版》，科學出版社2019年11月

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