A4紙為什麼是使用最廣泛的列印紙？

1.A0、A2、A3、A4、A5，所有尺寸的紙張長寬比都相同。

2.在A系列紙中，前面序號的紙対裁後，可以得到兩張後面序號大小的紙，比如A0對裁後可以得到2張A1，A1對裁可以得到2張A2，依此類推。

這兩項特色讓A系列規格的紙張非常好用，畫在A4紙上的圖畫可以等比例放大到A0海報上。手邊只要有某一款A系列的紙，即能做出任意大小的A系列。這是A系列紙張特殊的長寬比——利希騰貝格比例的特殊比例√2：1，才能帶來這種特性。

舉實際的數字給各位看：

A0是84.1厘米×118.9厘米118.9/84.1=1.41；

A4是21厘米×29.7厘米 ，29.7/21 =1.41；

A5是29.7/2 = 14.8厘米×21厘米，21/14.8= 1.41。

我們可以發現，這些比例都趨近於√2。

換句話說，我們都享用了利希騰貝格比例的好處，卻很少人知道利希騰貝格比例是什麼，某種程度上，這就是最極致的體貼，讓人享用到它的好，卻察覺不到它的存在。

嗯，我不是在講女性用品廣告台詞，雖然兩者間很相似（以每一種距離來說都是）。

躲在A4裡面，還有更了不起的比例

黃金比例1.618可以稱之為比例之王，不管從Google搜尋或被應用的範圍來說，他都是最常見的比例。不過，事實上還有類似黃金比例的比例，和利希騰貝格比例一樣隱藏在A4紙裡面。

許多建築都運用了黃金比例丨geogebra

這個比例的名字剛好跟《聖鬥士星矢》里聖鬥士的階級相同，是黃金聖鬥士之下的白銀聖鬥士，不，白銀比例——2.414。只要以A4紙的短邊為邊長，劃出一個正方形並裁掉，剩下長方形的長寬比即是白銀比例。我們可以驗證一下，A4紙的長寬比是√2：1，用短邊劃出正方形並裁掉後，剩下長方形的長寬比將會是1: [√2：1] = 2.414。

我們也可以把白銀比例表示成√2+1，它和(1+√5)/2的黃金比例有許多相似之處。例如，他們都和某個數列有關。

先前介紹過黃金比例和費波那契數列：

1、1、2、3、5、8、13、21……

後一組數字除以前一組數字，便可以得到近似於黃金比例的比值。

白銀比例則用上了佩爾數列：

1、2、5、12、29……

拿前後兩組數字相除，可以得到2、2.5、2.4、2.41、…越來越接近白銀比例2.414。我們可以用圖形的方式來解釋，為何費波那契數列和佩爾數列中產生黃金比例或白銀比例。

首先，費波那契數列的第n組數字是前兩組數字的和，意即Pn = Pn-1 + Pn-2，例如21=8+13。

佩爾數列的第n組數字前一組數字的兩倍加上再前一組數字，意即Pn = 2Pn-1 + Pn-2。例如29=12×2+5。

再將費波那契跟佩爾數列的遞歸表示法除以Pn-1，可以得到：

Pn/ Pn-1 = 1+ Pn-2/ Pn-1。

Pn/ Pn-1 = 2 + Pn-2/ Pn-1。

第一個式子表示，大的黃金比例長方形是一個正方形加上一個小黃金比例的長方形。

第二個式子則是，大的白銀比例長方形可以由兩個正方形，加上一個小的白銀比例長方形組合而成，如下圖所示。

圖 | 由作者提供

白銀比例的服務精神

利希騰貝格比例讓紙張的使用更加便利，黃金比例跟白銀比例的用途更廣泛，其中之一是在藝術上的貢獻。

例如下面的綠色菱形，對角線的長寬比剛好是白銀比例，因此可以用方才的幾何規則「兩個大的加一個小的」，將三個這樣的菱形，其中兩個橫放，三個並排，製造出一個等比例放大的藍色菱形，放大的比例剛好是白銀比例。

圖 | 由作者提供

這種特殊的菱形與正方形，是下圖複雜的伊斯蘭風格拼貼鑲嵌的基本元素。

圖 | 由作者提供

比起一般地板磁磚的正方形，或蜂巢狀的六角形鑲嵌，這種鑲嵌更華麗美觀。這麼複雜的鑲嵌，除了基本構成的菱形需要白銀比例，鑲嵌過程也需要用上白銀比例，最後構成的眾多正八邊形里，依然也有白銀比例。

可以看見，白銀比例一樣提供了最佳的服務，讓使用者察覺不到，卻因為它獲益良多。最起碼豪宅里使用了這種鑲嵌技術的土豪一定不知道背後有白銀比例，不然他鐵定會把設計師叫過來臭罵一頓：

「為什麼不用黃金比例，要用白銀比例呢？！」

有噢，有黃金比例的鑲嵌，稱之為彭羅斯拼圖，數學可是最有服務精神，服務最周到的科學了。

作者： 賴以威

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