拉馬努金出生在印度南部，他沒有接受過正規的數學教育，但有著令人驚異的數學天賦，似乎可以感知到大量數字關係背後的規律，因而也被稱為是「知無涯者（the man who knew infinity）」。在他留下的三本筆記本和一些草稿紙上，寫著大約4000條公式，包括哈代在內的眾多數學家曾經痴迷其中。有數學家說：「拉馬努金的重要，不僅僅因為他是一名數學家，而在於他告訴了我們人類大腦可以做到何種程度。」
撰文 | 詹姆斯·格雷克
翻譯 | 凌浩
校對 | 林開亮
在某種意義上，數學家們最後都得去琢磨斯里尼瓦瑟·拉馬努金（1887.12.22-1920.4.26）的思想。
自從拉馬努金1887年在印度南部庫姆巴科納姆的一座小城中誕生，時間已經過去了100年（編註：該文發表於1987年）。在他去世32年後，人們發現了他留下的一份奇特而原創的遺產：寫在三本筆記本和一些草稿紙上的大約4000條公式。
拉馬努金數學筆記中的兩頁
拉馬努金在數學方面的能力與獨創性，有些在他生前便為人所了解。與他同時代的人從那些塗滿了定理的紙頁上窺探到，他有一種天賦，可以計算出掌控著大量數字關係背後的定律。
但拉馬努金並沒有接受過正規的數學教育，在他多產的人生的大部分時間，他因地理因素而與世隔絕。他的公式常常深奧隱晦而又簡潔優雅。他在自己的世界中，以自己獨特的方式工作，遠離他所在時代的數學前沿，書寫著內心看到的公式與定理。
如今他的研究早已進入了數學與科學之中，且遠比從前那個時代所能想像到的更深入。具有可做代數運算的特殊程序的計算機使更多普通數學家可以更容易地追尋他的思想軌跡。從宇宙學的超弦理論到複雜分子系統中的統計力學，現代物理也發現它正越來越頻繁地藉助於數論和複分析的純粹發現——這正是拉馬努金的世界。
所以研究者們正在加速數學法醫學和數學考古學的進程，以鑽研這些未完成的文檔，努力理解這些公式並證明它們。隨著他們對拉馬努金選擇特定方法的原因了解得更多，他們感覺到有一個基礎至今尚未被揭示。
「在他憑空變出這些非凡的東西時，它們不只是珍品，更是真理。」位於新斯科舍省哈利法克斯的達爾豪斯大學的喬納森·波溫（Jonathan M. Borwein）說。與眾多數學家一樣，他發現自己近來一直藉助於拉馬努金的公式。「它們是某個暗藏的理論的證據，那些證據難以捉摸，他從未闡明。」
所謂「泥上偶然留指爪，鴻飛那復計東西」，也許是出於必要，也許是出於習慣，拉馬努金的工作方式令現代數學家既崇敬又感到挫敗。他在一塊石板上匆匆記下公式，用肘部擦掉，再記下更多，直到算出最終形式才在他珍貴的筆記本上寫下結果。
至於中間的種種環節，它們都丟失了。和主流數學家不同，他認為正確的結果不需要證明。他的遺產簡單來說就是一組發現。
「對事物的感覺」
「他看上去在以一種與我們所知的任何人都不同的方法發揮著作用。」波溫博士說。「他對事物有一種感覺，它們從他的腦中湧出，大概不管以何種可以翻譯的方式，他都沒有發現它們。這就像是在一場你從未被邀請的筵席上見到某些人一樣。」
因此，數學家們花費多年——通常還是寶貴而多產的幾年——來證明拉馬努金知道的定理必定正確。推導那些公式往往比公式本身更有啟發性。數學的分支學科圍繞著拉馬努金放置於獨特環境中的構想繁盛興旺。
在他的百年誕辰之際，數學家們聚集在美國與印度的會議上討論拉馬努金的研究所帶來的意義。比起從前，他們有更多的原始材料需要研究，因為在上個世紀，投入到尋找和拼湊遺產中那些文檔的努力已經有了新的結果。
伊利諾伊大學的數學家布魯斯·伯恩特（Bruce Berndt）已經花費了數年時間編輯這些筆記，搜尋它們的來源及其關係，更重要的是儘可能多地證明那些未被證明的定理。賓夕法尼亞州立大學的數學家喬治·安德魯斯（George Andrews）一直在做同樣的工作，研究所謂「遺失的筆記」——拉馬努金在他生前最後的一年留下的130頁手稿。
「在快要去世的那一年裡，他的工作相當於一個偉大數學家一生的工作。」威斯康星大學的理察·阿斯基（Richard Askey）說，他曾與安德魯斯合作，試圖理解拉馬努金的部分工作。
「他的成就令人難以置信，」阿斯基博士說，「如果這在一部小說里，沒人會相信。」
如果拉馬努金從未在1912年到1913年間給英國數學家寫一連串不顧一切的大膽無畏的信，他也許會徹底默默無聞地度過一生。當時他25歲，在失業幾年後做著一份年薪30美元的職員工作，但仍不願將他的石板與公式丟在一旁。
他的家族在印度，地位很高，但很貧窮。在他之前，他的祖父與父親在同一家布店做小職員。拉馬努金有幸在庫姆巴科納姆接受了良好的中學教育，在那兒的圖書館發現了一些過時的二流課本後，他便開始了對數學充滿創造力的探索。
「一個不知名的印度職員」
他的才智顯著過人，但在他的出生地以北約240千米的馬德拉斯的一所學院裡，拉馬努金在其他科目的考試中一次又一次不及格。在數學方面，他並沒有老師。用英國數學家戈弗雷·哈代的話來說，他在「對現代歐洲數學家的完全無知」中學習。
哈代不是第一個收到來自這位「不知名的印度職員」來信的數學家，他回憶說：「充其量，就是個接受了一半教育的印度人。」但他卻是第一個清楚這封信的意義的人。
拉馬努金的信上說，「實際上，我知道接下來……而且我還知道……另外提一句，我發現了這個。」他列出了經過仔細選擇的他的定理，多數是以恆等式的形式——陳述一些常見的量（如π）和一些不常見的量相等，或是兩個不常見的量相等。
哈代帶著困惑檢驗了它們。有少數令他吃驚，他後來說，他還認為自己也曾證明過部分相似的結論。他覺得有些定理，如果努力，他也可以證明出來——他確實做到了，但也遇到了很大的困難。
另外一些定理是已知的。然而仍有一些，則「徹底難倒了我」。數年後，哈代在一篇文章中這樣談道。
劍橋之行
「我從沒見過什麼像它們那樣，」他說，「只要看一眼就知道只有最厲害的數學家才能寫得出來。它們肯定對，因為如果它們不對，沒人能有這樣的想像力創造出它們。」
另外，哈代還能斷定，拉馬努金有所保留，只提供了定理的特例，他敢肯定拉馬努金還發現了更為普遍的版本。他安排發出了一封到劍橋大學的邀請函，1913年，拉馬努金離開妻子到達了這裡，一待就將近6年。
兩人經常合作。哈代記得拉馬努金很瘦弱，中等個頭，眼中閃著光芒。拉馬努金是個嚴格的素食者，所有的食物都在自己的房間裡做，當拉馬努金在1917年莫名生病時，哈代認為是他的素食主義導致了他的身體每況愈下。
同樣的迷戀
若干年之後，哈代花費了一番力氣才消除了某種觀念，也許是出於一種微妙的英格蘭種族主義，人們認為拉馬努金有一種亞洲風格的好奇心——要麼是個「受神靈啟示的白痴」，要麼就是「古老東方智慧的一種神秘的表現形式」。與此相反，在哈代的眼裡，拉馬努金是個深思熟慮的理性主義者，很敏銳，但其中的宗教特性遠遠趕不上導致他離去的飲食習慣堅固。
他們都對數字迷戀，仿佛數字是活的，就像故事裡的人物。他們思考整數，將整數分解為小因子，如300可寫成2^2×3×5^2。他們研究一些問題，比如從嚴格的數學角度探究這些數字是如何常見，以及一些其他更難用語言描述的難題。
斯里尼瓦瑟·拉馬努金
「一個非常有趣的數字」
拉馬努金生病後的一天，哈代乘計程車去看望他，並跟他抱怨計程車的車牌號非常無聊——1729，只能寫成7×13×19。「不，其實它很有趣。」拉馬努金回答說。「在所有能用兩種方法寫成兩個立方和的數中，它最小。」（1729是1^3與12^3的和，也是9^3與10^3的和。）哈代對拉馬努金的理解與欣賞要勝過同時代其他任何的人。但即便是他，也無法免除時代與地域的有色眼鏡。對他來說，拉馬努金的故事最終是個悲劇——不完整的教育和無人指引的天才。當他最終評價這個年輕數學家的工作和他的課題未來可能產生的影響時，他表示失望。
「它們不具有偉大工作的簡潔性與必然性，」哈代在1927年寫道，「如果它們不那麼奇怪，會更好。」
如今，幾乎沒有數學家能同意這樣的評價，這些奇怪的結果迎來了光明，而哈代則退出了拉馬努金的偉大光環。
「拉馬努金晚出生了100年，哈代覺得這是個遺憾。」阿斯基博士說。那是個屬於公式的偉大時代，是歐拉和高斯這樣的數學家做出奠基工作的時代。「可我認為拉馬努金沒能晚100年再出生才是個遺憾。」阿斯基博士說。「我們在嘗試解決一些變量方面的問題——這些問題更難了，如果有人能有他那樣的直覺幫助我們，一切將會變得不可思議。」
但他的直覺也並非永遠正確。拉馬努金也犯過一些錯誤，他曾聲稱發現了一個公式，根據這個公式，可以得到小於給定數的素數個數的近似值。但是，這樣的公式並不存在。他過於樂觀，早期時候他一直很樂觀。在19世紀之前，數學家們便知道有些問題永遠無法解決，但拉馬努金孤立的生活使他遠離他們的懷疑，正如遠離他們的知識一樣。
1919年，拉馬努金病得更重了，在一家私人療養院和一些療養所之間幾經輾轉後，他回到了印度。他繼續狂熱地工作，和病魔鬥爭，在他能找到的任何紙上做計算。在接下來的那個四月，32歲的時候，他去世了。
1976年發現的論文
他在最後一年寫下的130頁未標記的手稿被保存在了劍橋三一學院的圖書館，和各種帳單與信件一起放在一個盒子中，直到1976年，賓夕法尼亞州立大學的安德魯斯博士發現了它們。這就是「遺失的筆記」。
「把這個詞用於在英國的一所重點大學的圖書館裡發現的東西上有些古怪，」波溫博士說，「但對那些了解其內容的人來說，事實就是如此。」
安德魯斯博士發現，拉馬努金在數學家們半個世紀都無法切入的問題上找出了一條道路。許多發現都關乎一個恆等式家族，他稱之為仿θ函數——「算術方面的簡單斷言」，就如安德魯斯博士所說，然而「它們的涵義非常深刻」。
「拉馬努金花園」里的種子
正如物理學家弗里曼·戴森在最近拉馬努金大會上所說，這些數學幫助推進了理論物理中一個新的重要概念——超弦理論。「作為純粹的數學，它和其他任何一朵拉馬努金花園中成熟的種子所開出的花兒一樣美麗。」他說。
另一個恆等式去年被用於在計算機上計算π的小數點後數萬位。它收斂於某個精確值的效率比先前任何方法都高。然而，一如既往地，拉馬努金僅僅是斷言了他的發現。直到後來波溫博士和他的哥哥彼得·波溫（Peter B.Borwein）嚴格地證明了小數點後那些以百萬位計的數字確實就是π。
拉馬努金那些神奇公式的運用讓數學家們猜測他當時正發掘一個埋藏很深的理論的脈絡，它的全貌至今不明。但許多人並不願細想拉馬努金究竟是怎樣進行思考的。
哈代注意到了拉馬努金的出身，並發現了與歐洲社會隔絕的不完整的教育系統對他的嚴重忽視。儘管如此，如當今數學家們所意識到的那樣，拉馬努金上過一所像樣的高中，些許書籍和文化傳統使他渴望成為一名學者。
人們時常在他短暫而豐富的人生中尋找著經驗教訓，他們認為那些在如今這顆星球上十分缺乏。
「拉馬努金的重要，不僅僅因為他是一名數學家，而在於他告訴了我們人類大腦可以做到何種程度。」阿斯基博士說，「有才華的人如此稀少而珍貴，我們不能失去他們。天才可以出現在世界上任何地方。」
關於π的神秘公式
數學家們發現，拉馬努金的許多公式既優美又晦澀。讓他們驚訝的是，有個公式提供了一個極快速的方法來計算π值這一古老的課題。就在去年（編註：指1986年），一位計算機科學家運用拉馬努金公式的某個版本將π計算到了17 000 000位。這之後，數學家才能證明拉馬努金的見解為何是正確的。
本文經授權取自《數學百年風云：〈紐約時報〉數學報道精選（1892-2010）》，文中圖片來自網絡。
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