近期，國內的疫情鬧得沸沸揚揚，很多省市自治區都出現了流感的患者。回想起之前在學校的時候曾經研究過微分方程和動力系統，於是整理一下相關的數學模型，分享給各位讀者。筆者並不是研究這個領域的專家，並且這篇文章只是從微分方程角度出發，分析方程的性質，不一定適用於真實環境，而且真實環境比這個也複雜得多。
關於傳染病的數學模型，在許多年前數學界早已做過研究，根據傳染病的傳播速度不同，空間範圍各異，傳播途徑多樣，動力學機理等各種因素，對傳染病模型按照傳染病的類型劃分為 SI，SIR，SIRS，SEIR 模型。如果是按照連續時間來劃分，那麼這些模型基本上可以劃分為常微分方程（Ordinary Differential Equation），偏微分方程（Partial Differential Equation）等多種方程模型；如果是基於離散的時間來劃分，那麼就是所謂的差分方程（Difference Equation）。
在本文中，將會主要介紹常微分方程中的一些傳染病數學模型。在介紹方程之前，首先要介紹一些常用的符號：在時間戳 上，可以定義以下幾種人群：
- 易感者（susceptible）：用符號 來表示；
- 感染者（infective）：用符號 來表示；
- 康復者（Recoverd）：用符號 $lated R(t)$ 來表示；
其次，在時間戳 上，總人口是
。如果暫時不考慮人口增加和死亡的情況，那麼
是一個恆定的常數值。
除此之外，
- 表示在單位時間內感染者接觸到的易感者人數；
- 傳染率： 表示感染者接觸到易感者之後，易感者得病的機率；
- 康復率： 表示感染者康復的機率，有可能變成易感者（可再感染），也有可能變成康復者（不再感染）。
在進行下面的分析之前，先講一個常微分方程的解。
Claim.假設
是關於 的一個方程，且滿足
和
，那麼它的解是：
.
Proof. 證明如下：
通過
可以得到
；令
，得到
。所以，
，兩邊積分可以得到
，其中
。求解之後得到：
。
SI 模型（Susceptible-Infective Model）
在 SI 模型裡面，只考慮了易感者和感染者，並且感染者不能夠恢復，此類病症有 HIV 等；
SI Model
其微分方程就是：
初始條件就是
，
，並且
對於所有的
都成立。
於是，把
代入第二個微分方程可以得到：
。因此根據前面所提到的常微分方程的解可以得到：
.
這個就是所謂的邏輯回歸函數，而在機器學習領域，最簡單的邏輯回歸函數就是
這個定義。而
只是做了一些坐標軸的平移和壓縮而已。由於
，所以，
，從而
。
通過數值模擬可以進一步知道：
SI model 的數值模擬（一）
簡單來看，在 SI 模型的假設下，全部人群到最後都會被感染。
SIS 模型（ Susceptible-Infectious-Susceptible Model）
除了 HIV 這種比較嚴重的病之外，還有很多小病是可以恢復並且反覆感染的，例如日常的感冒，發燒等。在這種情況下，感染者就有一定的幾率重新轉化成易感者。如下圖所示：
SIS model
其微分方程就是：
，其初始條件就是
，
.
使用同樣的方法，把
代入第二個微分方程可以得到：
. 通過之前的 Claim 可以得到解為：
.
從而可以得到
且
. 這個方程同樣也是邏輯回歸方程，只是它的漸近線與之前的 SI 模型有所不同。
SIS model 的數值模擬（二）
SIR 模型（ Susceptible-Infectious-Recovered Model）
有的時候，感染者在康復了之後，就有了抗體，於是後續就不再會獲得此類病症，這種時候，考慮 SIS 模型就不合適了，需要考慮 SIR 模型。此類病症有麻疹，腮腺炎，風疹等。
SIR model
其微分方程是：
。其初始條件是
，並且
和
對於所有的
都成立。
對於這類方程，就不能夠得到其解析解了，只能夠從它的動力系統開始進行分析，得到解的信息。根據第一個微分方程可以得到：
，於是
是一個嚴格遞減函數。同時，
對於所有的
都成立，於是存在
使得
.
通過第一個微分方程和第二個微分方程可以得到：
，因此對它兩邊積分得到
. 左側等於
，上界是
，因此令
可以得到
. 而
且是連續可微函數，因此
。這意味著所有的感染人群都將康復。
由於
是嚴格單調遞減函數，因此從第二個微分方程可以得到：當
時，感染人數
達到最大值。
SIR model 的數值模擬（一）
SIR model 的數值模擬（二）
其餘模型
在以上的 SI，SIS，SIR 模型中，還可以把死亡因素考慮進去。除此之外，還有 SIRS 模型，SEIR 模型等，在這裡就不再做贅述。有興趣的讀者可以參閱相關的參考書籍。
參考文獻
- Introduction to SEIR Models, Nakul Chitnis, Workshop on Mathematical Models of Climate Variability, Environmental Change and Infectious Diseases, Trieste, Italy, 2017